文档介绍：概概率率论论第三章多维随机变量及其分布关键词: 二维随机变量分布函数分布律概率密度边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度条件分布函数条件分布律条件概率密度随机变量的独立性 Z=X+Y 的概率密度 M=max(X,Y) 的概率密度 N=min(X,Y) 的概率密度§1 二维随机变量问题的提出?例1:研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值,研究身高和体重之间的关系,这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。?例2:研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定,而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。?分布函数的性质二维离散型随机变量?分布律的性质??二维连续型随机变量?例3:设二维随机变量(X,Y) 具有概率密度: ?例 4:设二维随机变量(X,Y) 具有概率密度(1) 求常数 k; (2) 求概率解: §2 边缘分布??例3:设 G是平面上的有界区域,其面积为 A,若二维随机变量(X,Y) 具有概率密度则称(X,Y) 在G上服从均匀分布。现设(X,Y) 在有界区域上均匀分布,其概率密度为求边缘概率密度解: ?§3 条件分布?例1:盒子里装有 3只黑球, 4只红球, 3只白球,在其中任取 2球,以 X表示取到黑球的数目, Y表示取到红球的只数。求(1)X,Y的联合分布率; (2)X=1 时Y的条件分布率; (3) Y=0 时X的条件分布率。故在 X=1 的条件下, Y的分布律为: ?例2 :一射手进行射击,击中目标的概率为射击直至击中目标两次为止, 设以 X 表示首次击中目标所进行的射击次数,以Y 表示总共进行的射击次数, 试求 X和Y 的联合分布律和条件分布律。解: 定义:条件分布函数定义:条件概率密度§4 相互独立的随机变量????一般 n 维随机变量的一些概念和结果?边缘分布如: ?定理 1: ?定理 2:§5两个随机变量的函数的分布??一般的,可以证明: 若X,Y 相互独立,且分别服从参数为 X,Y 的概率密度分别为?证明:这是例 3的推广,由卷积公式?推广到 n个相互独立的随机变量的情况设X 1,X 2,?-,X n是 n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为: 则: ?例5:设系统 L由两个相互独立的子系统 L 1,L 2联结而成,联结的方式分别为: (1) 串联; (2) 并联; (3) 备用(当系统 L 1损坏时,系统 L 2开始工作)。如图,设 L 1,L 2的寿命分别为 X,Y ,已知它们的概率密度分别为: 试分别就以上三种联结方式写出 L的寿命 Z的概率密度。?串联的情况由于当 L1,L2 中由一个损坏时,系统 L就停止工作,所以 L的寿命为 Z=min(X,Y) ; 而X,Y 的分布函数分别为: 故Z的分布函数为: 于是 Z的概率密度为: ?并联的情况由于当且仅当 L 1,L 2都损坏时,系统 L才停止工作,所以这时 L的寿命为 Z=max(X,Y) ,Z的分布函数为: 于是 Z的概率密度为: ?备用的情况由于这时当系统 L 1损坏时,系统 L 2才开始工作,因此整个系统 L的寿命 Z是L 1,L 2 寿命之和,即 Z=X+Y ; 因此: 复****思考题 3 ( X,Y) 为二维向量, 则P{x 1 <X ≤x 2,y 1 <Y ≤y 2 }=F(x 2,y 2 )-F(x 1,y 1 ), 对吗? ( X,Y ) 为二维连续量,则 P{ X+Y =1}=0, 对吗? 3.( X,Y ) 为二维连续型向量, f(x,y) 为( X,Y ) 的联合概率密度, f X (x) 和f Y (y) 分别为关于 X和Y 的边缘概率密度,若有一点(x 0 ,y 0)使 f(x 0 ,y 0)≠f X (x 0) ?¤ f Y (y 0)则X和Y 不独立,对吗? 第四章随机变量的数字特征关键词: 数学期望方差协方差相关系数?问题的提出: 在一些实际问题中,我们需要了解随机变量的分布函数外,更关心的是随机变量的某些特征。?例: –在评定某地区粮食产量的水平时,最关心的是平均产量; –在检查一批棉花的质量时,既需要注意纤维的平均长度,又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度; –考察杭州市区居民的家庭收入情况,我们既知家庭的年平均收入,又要研究贫富之间的差异程度; §1数学期望定义: 定义: ?例2:有 2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命服从同一指数分布,其概率密度为: 若将这 2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命 N(以小时计)的数学期望。解: ?例4:设一台机器一天内发生故障的概率为 ,机器发生故障时全天停工。若一周 5个工作日里无故障,可获利10万元;发生一次故障获利 5万元;发生 2次