泛函.doc

文档介绍：例2 序列空间 S令S 表示实数列(或复数列)的全体,对 S 中任意两点及,令易知满足距离条件, 下面验证满足距离条件 2 。为此我们首先证明对任意两个复数 a和b ,成立不等式事实上,我们考察上的函数由于在上, 所以 f(t) 在上单调增加, 由不等式,我们得到令,, 则,代入上面不等式,得由此立即可知满足距离条件 2 ,即 S按成一度量空间。例6记设,定义则d是的距离。距离条件 1 是容易得出的,现检验条件 2 对任何正整数 n,和都是中的元素, 由 Cauchy 不等式再令右端,即得再令左端的即得由此可得令取。以代入上式,即可得的三点不等式???? nx???,, 21?????,,, 21ny????????????? 112 1, iii iiiyxd?????? yxd, 01?? yxd,b ba aba ba???????111?),0?t ttf??1 )(?),0? 0)1( 1)( 2 ,???t tf?),0? baba???111111?????????????????b ba aba bba aba baba ba????,,,, 21nz???? iia???? i i b ? ?? ? iiba????? ii iiii iiii ii???????????????????????111?? yxd,?? yxd, 2l???????????????1 22k kkxxxl???? 22,lyylxx kk?????? 2 11 2),(???????????k kkxyyxd 2l ???? n nxxxx?,, 21????? n nyyyy,,, 21?? nR????????????? nk k nk k nk kkyxyx 1 21 2 21?? n??????????????? 1 21 2 21k kk k nk kkyxyx?? n?????????????????1 21 2 21k kk k nk kkyxyx?? 22 11 2 2 11 21 2 2 11 21 21 2 1 211 21 2???????????????????????????????????????????????????????????????????k kk kk kk kk kk k k kk kkk kk kkyxyyxx yyxxyx??????.,, kkk????????? kkkkkkyx????????, ???,,),(),(),(??????ddd??压缩映射设在完备度量空间 X中给定一个映射 T,把空间 X的元素变换为同一空间内的元素,并且 d(Tx,Ty)≤d(x,y),(0≤α<1),则有惟一的点 x3∈X,使得 Tx3= x3。我们把 x3叫做映射 T得不动点,把符合上述条件的映射称为压缩映射。证明任取, 0Xx?令,... ,... , 11201???? nn Tx x Tx x Tx x 先证?? nx 是Cauchy 点列①先考虑相邻两点的距离?????????? 0121 2111, ...,,,,xxdxxdxxd Tx Tx dxxd mmmmmmmmm??????????????②再考虑任意两点的距离当 n>m 时???????? nnmmmmmnxxdxxdxxdxxd,...,,, 1211?????????????? 01 101 101, ...,,xxdxxdxxd nm m?????????=???? 01 11, ...xxd nmm????????=?????? 0,1 ,1 1 0101???????????m m mnmxxdxxd??????? nx?是 Cauchy 点列X?是完备度量空间,Xx???使xx n?下证 x 为不动点?????????? Tx Tx dxxd Tx xdxxd Tx xd nnnn,,,,, 1????????? 0,, 1????????? nnnxxdxxd?再证不动点唯一若还有 Xx?' ,使''x Tx?则??????''',,,xxd Tx Tx dxxd???因??,1?必须??''0,xxxxd??? 2 、设],[baC ?是区间],[ba 上无限次可微函数的全体,定义)()(1 )()( max 2 1),( )()( )()(0tgtf tgtfgfd rr rrbtar r?????????证明],[baC ?按),(gfd 成度量空间。证明(1 )若),(gfd =0 ,则)()(1 )()( max )()( )()(tgtf tgtf rr rrbta?????=0 ,即 f=g (2))()(1 )()( max 2 1),( )()( )()