文档介绍：Department of Mathematics Jinan Univ. 2009 第三章复变函数的积分第一节复积分的概念及其简单性质第二节柯西积分定理第三节柯西积分及其推论 Department of Mathematics 第一节复积分的概念及其简单性质 1、复变函数积分的的定义 2、积分的计算问题 3、基本性质第三章复变函数的积分同微积分一样,在复变函数中,积分法也是研究复变函数性质十分重要的方法. 在解决实际问题中也是有力的工具. 本章先介绍复变函数积分的概念,性质和计算方法然后介绍关于解析函数积分的柯西- 古萨基本定理及其推广,有了这些基础,我们建立柯西积分公式,最后证明解析函数的导数仍是解析函数,从而导出高阶导数公式 1、复变函数积分的定义设在复平面 C 上有一条连接及Z 两点的简单曲线C 。设 f(z )=u( x,y )+ iv( x,y ) 是在 C 上的连续函数。其中 u( x,y )及v( x,y )是f(z)的实部及虚部。把曲线 C用分点分成 n个更小的弧,在这里分点是在曲线 C上按从到Z的次序排列的。 0z 如果是到的弧上任意一点,那么考虑和式 Zzzzzz nn??,..., ,, 1210),..., 2,1,0(nkz k? 0z k? 1?kz kz) )(( 11 1k nk kkzzf??????复变函数的积分 0z 1z 1?kz k? kz Zz n? 1?nzC 复变函数的积分分实部与虚部,有或者)]() )][( ,(),([ 1 11 1kk nk kkkkkkyyixx ivu?????????????在这里分别表示的实部与虚部。,) )(,() )(,([ ) )(,() )(,( 11 1 11 1 11 1 11 1??????????????????????? nk kkkk nk kkkk nk kkkk nk kkkkyyuxxvi yyvxxu???????? kkkkyx??、及、 kkz?与复变函数的积分按照关于实变函数的线积分的结果,当曲线 C 上的分点个数无穷增加,而且时,上面的四个式子分别有极限: 0}1,..., 2,1,0|0 )()(| max{| 21 211????????????nk yyxxzz kkkkkk这时,我们说原和式有极限,d),(,d),(,d),(,d),(???? yyxuxyxvyyxvxyxu,d),(d),(d),(d),(yyxuxyxviyyxvxyxu C C?????复变函数的积分这个极限称为函数 f(z)沿曲线 C的积分,)(? Czzf 因此,我们有,d),(d),(d),(d),( d)(yyxuxyxviyyxvxyxu zzf C C C???????复变函数的积分如果 C是简单光滑曲线: ,并且,那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式,例如其中第一个可以写成因此,我们有) )(( ),( 0Ttttytx??????ZzTt及相应于及 00? Ttttu 0d)('),(???ttit ivuzzf TtCd )](')(' )][ ,(),([d)( 0???????????复变函数的积分我们可以看到,把 dz 形式地换成微分,就直接得到上式,因此有 ttztzfzzf TtCd)(' ))((d)( 0???当是分段光滑简单曲线时,我们仍然可以得到这些结论。