文档介绍：度量空间列紧集列紧集?称A A是有界的,如果 A A包含在 X X的某点的开球中; ?称A A是列紧的,如果 A A中任意点列在 X X中有一个收敛的子列; ?称A A是自列紧的,如果上述子列的极限点在A A中; ?称X X为列紧空间,如果 X X是列紧的。 A A是距离空间是距离空间 X X的一个子集, 的一个子集, 集任意有界闭集是自列紧, 中任意有界集是列紧集命题:在 nR 列紧集(闭)子集都是(自) 命题:列紧空间内任意备空间命题:列紧空间必是完 M N X M??,0?的一个子集, 是距离空间网的一个是那么称( 使得如果对于??? M N yxNyMx,),,,??????网的一个有穷是那么称) 依赖于还是一个有穷集(个数如果?? M N N, ?),(?yBM Ny???网。的一个有穷都存在着如果是完全有界的, 的一个子集,称是距离空间??M M X M,0??是完全有界集) 是列紧的必须(且仅须的集合)中间( )为了(完备)距离空( 定理 M M X Hausdorff ?, 是完全有界集列紧矛盾,从而不含收敛子列,与且,且所以存在数列, , 对, , 对任取网没有有穷中使得不是完全有界集,则”(反证)若证:“ M M x nm xxnmM x xBM xM xxx xBxBM xM xx xBM xM x M M n nm n k nk n n}{ )(),(,,}{ );,(\}{ );,(),(\}{ );,(\, 0 01 1 21 0201321 0121 0 0????????????????????????????????是一基本列,因此收敛所以) ( ) ( ) ( 时, 当则取子列,使得的子列有网, 对,使得的子列有网, 对,使得的子列有网, 对是完全有界集因为在收敛子列中的无穷点列,欲证存是”若“) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( }{ /2/2,,, /2,0}{ );/1,(}{}{}{,/1 );2/1,(}{}{}{,2/1 );1,(}{}{}{,1 }{ 1 2 2 2 12 1 1 1 1kk nnnn pnpn nn pnpn kk k kn kn knk n n n n nn nx xyyxxx nx kyBxxxMyk yBxxxMy yBxxxMy M M x??????????????????????????????????????是完全有界集) 是列紧的必须(且仅须的集合)中间( )为了(完备)距离空( 定理 M M X Hausdorff ?, :可分、紧是可分的:完全有界的距离空间定理 )是一个距离空间,为:设( 定理XM X??, 闭集的余集为开集,从而为空集,从而所以, 令使得紧,所以可取有限个由于则令任取是开的是闭的,即证)证”( 证:“ M M M xB xxxxxx xBx xx xxxBM nkx M xxxBM xxxBMxMXx MX M kk nk kk nk k????),( 2),(),(),( ),(,2 ),( min )2 ),(,( ),,,2,1( )2 ),(,( ),2 ),(,(,, 10 00 0 01 01 0 0 0?????????????????????????????????是自列紧的是列紧的,所以从而,矛盾,从而但显然对) ( 使得紧,从而由于的一个开覆盖是从而) ( 是开集是闭集, 则互异,作假定没有收敛子列不是列紧的,则存在(反证)若是列紧的)证(M M SXxSxM xx SXSXM N M M SXM XSXSX SXSxxxxSx x M M n Nn nn Nn n nn n Nn n Nn n n n n n nn n n n1 1 1 111 1 1 1121\,, \\, }\{,\\ },,,,,,{ }{ .2 ?????????????????????????????与假设矛盾所以所以所以且足够大,使得取,使得所以使得,必存在某个使得的收敛子列是自列紧集,所以存在,由于对,),()/1,( ),,( /2/1),(),(),( )/1,(,/2),( /2 ,),(0 , }{}{ }{ 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 ????????????????GyBnyByBx nyyyxyx nyBxyy nkGyB GyG yy yy M ykn k nn kn n k n n n nk k k k k k k?????????????????覆盖不能被有限个使得由假设, 显然网有穷完全有界,所以由于的有限覆盖不能取出的某