文档介绍：数学物理方法在物理和工程技术中,常常会碰到狄拉克函数(单位脉冲函数)。因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等。研究此类问题就会产生我们要介绍的狄拉克函数。下面我们将从物理实例出发引入狄拉克函数,并介绍函数的基本知识。第八章狄拉克?函数1数学物理方法第一节一维?函数的定义和性质一、一维?函数的定义通过点电荷密度的计算,引入?函数的定义。设:均匀带电细线,中心位于0x,长度:l,总电量:单位电荷1。线电荷密度000()(1)2()1()(2)2lxxxlxxl???????????总电量()1Qxdx???????2数学物理方法当0l?时,电荷分布可看作位于0xx?的单位点电荷。此时?000()()(3)()xxxxx?????()1xdx??????(4)把定义在区间(,)????上,满足上述这两个要求的函数称为?函数,并记作0()xx??,即?0000()()()xxxxxx??????(5)0()1xxdx???????(6)3数学物理方法?0000()()()xxxxxx??????(5)0()1xxdx???????(6)根据(5)式,在0xx?时,0()0xx???,所以(6)式左边的积分不需要在(,)????的区间进行,而只需要在一个包含0xx?点在内的区间内进行,即?00001()()0(,)baaxbxxdxaxbx????????引入?函数后,位于0x处、电量为q的点电荷的线电荷密度为:0()()xqxx????。位于坐标原点,质量为m的质点的质量线密度为:()(0)()xmxmx??????4数学物理方法说明:1.?函数并不是通常意义下的函数,而是广义函数:它没有给出函数与自变量之间的对应关系,仅给出?0(0)()(0)xxx?????这在通常情况下没有意义。2.?函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义。例:()()(0)fxxdxf??????5数学物理方法二、?函数的性质性质1:若()fx是定义在区间(,)????的任一连续函数,则00()()()fxxxdxfx????????—将0()xx??乘上()fx进行积分,其值为将()fx的x换为0x或者说:?函数具有挑选性(把()fx在0xx?的值挑选出来)证明:设?是任意小的正数,则由于0()xx??在0xx?时为零,所以0000()()()()xxfxxxdxfxxxdx???????????????由积分中值定理有:000000()()()()()xxfxxxdxfxxdxxx???????????????????????6数学物理方法000000()()()()()xxfxxxdxfxxdxxx???????????????????????当0??时,0x??,连续函数0()()ffx??,且000()1xxxxdx????????所以00()()()fxxxdxfx???????特别地:00x?时,()()(0)fxxdxf??????说明:00()()()fxxxdxfx???????也可作为δ函数的定义,即δ函数可以通过它在积分号下对任一连续函数()fx的运算性质来定义。7数学物理方法性质2.(对称性):00()()xxxx???????函数是偶函数证明:设()fx为定义在()????的连续函数,则000000()()()()()()()()()()xxfxxxdxfxdfxdfxfxxxdx???????????????????????????????????????00()()xxxx?????与在积分号下对任一连续函数()fx的运算性质相同00()()xxxx?????=()()()()fxxxfxxx?????上式的确切含义:在等式左右两边乘上任意连续函数()x?以后,对x积分相等000()()()()()()xfxxxdxxfxxxdx???????????????证明:当0xx?时,等式两边均为零当0xx?时,等式两边均为00()()fxxx??9数学物理方法性质4.()0xx??证明:对任意的连续函数()fx,均有:0()()()(0)[()]0xxxfxdxxfxxdxxfx???????????????连续函数()fx的任意性得()0xx??另一种证法:由性质3中令()fxx?,则000()()xxxxxx?????令00x?,则()0xx??000()()()()fxxxfxxx?????10