文档介绍：第三章第三章复变函数级数复变函数级数 1复变函数的无穷级数(新运算) 复变函数的无穷级数(新运算) ??求和: 求和: ??连续求和连续求和————积分积分??离散求和离散求和————级数级数??重要性: 重要性: 积分和级数是表达函数的两大工具积分和级数是表达函数的两大工具??内容: 内容: ①①级数收敛性和求和方法级数收敛性和求和方法②②复变函数展开为级数(复变函数的级数表示) 复变函数展开为级数(复变函数的级数表示) ③③级数的运算级数的运算 2§ § 幂级数幂级数??复数项级数复数项级数??收敛性: 收敛性: 若级数若级数的的部分和序列部分和序列有有限极限有有限极限,则称该级数收敛,其和为,则称该级数收敛,其和为,否则该级数发散。,否则该级数发散。?????????? n k kw ??? nk knwS 0SS nn??? lim???? 0k kwS 3 ??绝对收敛: 绝对收敛: 若若组成的级数收敛, 组成的级数收敛, 则称该级数绝对收敛。则称该级数绝对收敛。绝对收敛绝对收敛收敛收敛???0k kw? 4 ??收敛判别法收敛判别法 1. ———— Cauchy Cauchy 判据判据任给任给,必有,必有 N N存在,当存在,当时时对任意的正整数对任意的正整数 p p有有 2. ————比较判别法比较判别法由基本法则可知,若对充分大的由基本法则可知,若对充分大的 k k有有,则,则 0??Nn?????npnSS kkba????0k ka???0k kb发散发散发散发散收敛收敛收敛收敛 5 ??具体比较判别法具体比较判别法??与标准级数比较,如几何级数与标准级数比较,如几何级数??比值判别法( 比值判别法( d d’’ Alembert Alembert 判别法) 判别法) ??根式判别法( 根式判别法( Cauchy Cauchy 判别法) 判别法) 0,??rrw kkrw w kk k???????1rw kkk??????r <1 时级数收敛; r >1 时级数发散; r =1 时不一定。 6 ??级数的代数运算级数的代数运算若若, , ??加减法:两收敛级数的和与差级数仍加减法:两收敛级数的和与差级数仍收敛,且收敛,且?? BAbaba k kk k k k k??????????????000 Aa k k????0Bb k k????07 ??乘法:两绝对收敛级数的乘积绝对收乘法:两绝对收敛级数的乘积绝对收敛,且其和与乘积项的排列次序无关敛,且其和与乘积项的排列次序无关 BAbaba kl lk l k k k????????????????????????????00 0 0??????????????????????? 00 0 00, n nk knk nnlk lk kl lkbababanlk k l k l b b 0 0b b 1 1b b 2 2…… a a 0 0a a 0 0b b 0 0a a 0 0b b 1 1a a 0 0b b 2 2…… a a 1 1a a 1 1b b 0 0a a 1 1b b 1 1a a 1 1b b 2 2…… a a 2 2a a 2 2b b 0 0a a 2 2b b 1 1a a 2 2b b 2 2……………………………… n012 8 ??除法是乘法的逆运算除法是乘法的逆运算???????????????????????????? nnk nkk nnlk lk kl lkbababanlk, 00 k l k l b b 0 0b b 1 1b b 2 2…… a a 0 0a a 0 0b b 0 0a a 0 0b b 1 1a a 0 0b b 2 2…… a a 1 1a a 1 1b b 0 0a a 1 1b b 1 1a a 1 1b b 2 2…… a a 2 2a a 2 2b b 0 0a a 2 2b b 1 1a a 2 2b b 2 2………………………………n-101 0,,0???lkba lk9 ??复变函数项级数复变函数项级数??收敛性: 收敛性: 若复变函数项级数若复变函数项级数在某个区域在某个区域 D D内所有点处收敛, 内所有点处收敛, 则称该级数在则称该级数在 D D内收敛。内收敛。??????????????????zw zwzwzw n k k2 1 0 10