文档介绍：《数学史》作业选
第九讲 19世纪的几何
1、从非欧几何学的建立谈谈您对几何真实性的认识。
回答一:
从古希腊时代开始,数学家们就对欧几里得第五公设,也称平行公设,耿耿于怀,试图寻求一个比较容易接受、更加自然的等价公设来代替它,或者把它当作一条定理由其他公设、公理推导出来,但都失败了,直到18世纪,数学家们尝试用反证法讨论平行公设,即从第五公设不成立的情况入手,导出与已知定理矛盾的结果,则第五公设被证。恰恰是这种思想开辟了一条通往非欧几何的道路,创立了不同于欧几里得几何学的几何体系——非欧几何。
非欧几何的创立突破了具有两千年根基的欧氏几何传统的束缚,给欧氏几何沉重打击,许多数学家对几何的真实性提出了疑问,难道非欧几何真的否定了欧氏几何?
非欧几何与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。欧氏几何的概念清晰,定义明确,许多公理、公设直观可靠,简洁、明了,易于想象,普遍成立。许多在现实中都能找到原形,易于人们接受。唯独第五公设:过直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行,显得比较特殊,而非欧几何则用与欧几里得第五公设相反的断言:通过直线外一点,可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线。由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理,形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论。
非欧几何从发现到获得接受,经历了曲折的道路。由于非欧几何与日常人们生活所接触的几何存在冲突,很难为同时代人们所理解,不知道非欧几何有何现实意义,对几何真实性提出了质疑。直到19世纪70年代以后,贝尔特拉米、克莱因等数学家先后在欧氏空间中给出了非欧几何的直观模型,从而揭示出非欧几何的现实意义,才使非欧几何真正获得了广泛的理解,消除了几何真实性的质疑,真正打破了近乎科学“圣经”欧几里得几何无懈可击论。
德国数学家黎曼发展了罗巴切夫斯基等人的思想,建立了一种更为广泛的几何——黎曼几何,罗巴切夫斯基几何以及欧氏几何都只不过是这种几何的特例,根据约定可以将非欧几何有关内容翻译成欧氏几何,反之,也可以根据约定将欧氏几何翻译成非欧几何的有关内容,即它们之间是相通的。
事实上,非欧几何的诞生,并没有否定欧氏几何,相反促进了数学的发展,所以无论是欧式几何描述的几何,还是非欧几何描述的几何都是真实的,只不过两者的立足点不同,各成体系。倘若非欧几何中存在任何矛盾,那么这种矛盾也必然会在欧氏几何中表现出来。
(06数教38号黄常建)
回答二:
欧几里得几何的第五公设是:若一直线与两直线相交,且同所交的两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。这个公设不像其他公设那样简明,欧几里得本人也是证完第28个命题以后才应用它。
非欧几里得几何指古希腊数学家欧几里得所建立的几何系统中的第五公设换成其否定命题所构成的新几何系统,简称非欧几何。它有两种形式:如果用“过直线外一点至少可以引两条直线平行于已知直线”这个命题代替第五公设,那么就得到罗巴切夫斯基几何,又称双曲几何;如果用“过直线外一点不存在平行于已知直线”这个命题代替第五公设,那么就得到黎曼几何,又称椭圆几何。
建立两千多年来,数学家试图从两个方面消除第五公设,即用更加自明的公理代替它,或者把它作为一个定理,而从其他九个公理或公设中推导出来。在寻找代替公设方面,1795年,普莱费尔给出了一个过直线外