文档介绍：2006年中考数学首师大版专题复习数学思想方法与新题型解析
 重点、难点:
数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质,是形成数学能力、数学意识的桥梁,是灵活运用数学知识、技能、方法的关键。在解综合题时,尤其需要用数学思想来统帅,分析、探求解题的思路,优化解题的过程,验证所得的结论。
在初中数学中常用的数学思想有方程思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想。
(一)方程思想
在初中数学中,我们学习了许多类型的方程和方程组的解法。例如,一元一次方程、一元二次方程,可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法,二元一次方程组、三元一次方程组的解法,以及二元二次方程组的解法等,所以我们如果能把实际问题或数学问题转化成解上述方程或方程组,问题就容易解决了。
所谓方程思想,就是从分析问题的数量关系入手,通过设定未知数,把问题中的已知量与未知量的数量关系,转化为方程或方程组等数学模型,然后利用方程的理论或方法,使问题得到解决。用方程思想分析、处理问题,思路清晰,灵活、简便。
1. 方程思想的最基本观点——几个未知数,列几个独立的方程
我们知道在一般情况下,几个未知数在几个独立的方程的制约下有确定的解。在涉及数量关系的问题中,用这一基本思想来分析、处理,能较为容易地找到解题途径。
例1. 已知:是关于x的方程的两个实数根,且,求m的值。
分析:本题中涉及三个未知数,需列出三个方程,题目中已给出了一个关于的方程,那么只需再找出两个关于和m的方程即可。
解法1 依题意,得

说明:一般地,有几个未知数,则需列几个方程。
 
例2. 如图,在直角三角形ABC中,,AD是的角平分线,DE//CA,已知CD=12,BD=15,求AE、BE的长。
分析:题目要求AE、BE这两个未知数的值,由于DE//CA,并且DC=12,BD=15,容易得到,得到关于BE、EA的一个方程。而题目中有两个未知数,还需要再建立一个关于BE、EA的方程。
由条件易知,ABC和EBD都是直角三角形,由AD是角平分线和DE//CA可以证明AE=ED,这样就把AE、EB集中在RtEDB中,用勾股定理可再列一个方程。
解:

设AE为x,BE为y,那么

2. 方程思想解题的核心——构造方程,沟通已知与未知的联系
用方程思想解题的核心是揭示题目中隐含的等量关系,设未知数、构造方程,沟通已知与未知的联系,从而使问题得到解决。
 
例3. 已知:如图,DB是半圆O的直径,A为BD延长线上一点,AC与半圆O相切于点E,,若,求⊙O半径。
分析:题目的条件给我们提供了许多等量关系。已知CB垂直直径DB,可知CB是⊙O的切线,于是有CE=CB;由切割线定理得;在中,由勾股定理得。
题目又给出了两条线段的比,则可设未知数,寻找等量关系,构造方程。
若设,则根据上面的等量关系易得。以为等量关系构造方程:

解略
问:题目要求⊙O半径,能否直接设所求量为未知数呢?这时,应以哪个等量关系来构造易解的方程,从而求出半径的长呢?
进一步分析可以看到,由,可知,即。连结OE(如图),则。

,把它作为等量关系构造方程:
解得,从而求出半径长为。
说明:从本例的两种不同解法可看到,列方程的关键是寻求等量关系。
在几何计算题中,常利用几何中的定理、公式,如勾股定理、切割线定理、相交弦定理、三角函数关系式等作为等量关系来构造方程,或利用图形中某些位置关系所隐含的等量关系(线段和差、面积和差、相似三角形对应边成比例)等构造方程。
下面我们把此例的已知条件稍加变化,分析如何寻找等量关系构造方程求解。
 
例4. 如图,DB是半圆O的直径,A为BD延长线上一点,AC与半圆O相切于点E,。若,求的面积。
分析:要求的面积,只要求出AB、BC的长即可。题目中给出了线段比,可利用比值设未知数,把其它线段用此未知数表示出来,寻找等量关系,构造方程。此题解法很多,仅举其中一种解法。
简解:可证CB为半圆O的切线,CE=CB

于F,可得

说明:此例是利用勾股定理作为等量关系构造方程的。
由以上几例可以看出,设未知数一般是所求的量是什么,就设什么为未知数。当所求的量不易直接求出时,要根据题目的特点,选择便于把条件、结论结合起来的未知量用字母表示为未知数,这样解题比较方便。
 
例5. 已知:在中,AD为BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且B=CAE,FE:FD=4:3。
(1)求证:AF=DF;
(2)求AED的