文档介绍：数学建模论文油罐标尺刻度的设计班级:姓名:学号:电话:QQ:油罐标尺刻度的设计摘要通过对油罐的理想化处理,本文将问题分成两个步骤,在步骤一中,建立了两个模型:解析模型和数值解法模型;在步骤二中,建立了两个模型:插值模型和二分逼近模型。在步骤一中,本文通过数据说明了数值解法对于复杂问题的精确逼近,可以替代解析方法。在步骤二中,比较两个模型三种方法,找出了它们的不同适用条件。关键词:插值法二分逼近法标尺设计解析法数值精度问题重述为了贮存汽油、柴油,经常使用大量的储油罐。油罐由中间的一个圆柱体和两边两个圆锥体拼接而成,上端有一注油孔(如图所示)。由于经常注油和取油,有时很难知道油罐中剩油的数量,这就给储油量的统计带来很大困难。显然将剩油取出计量是不现实的。希望设计一个精细的标尺:工人们只需将该标尺垂直插入使尺端至油罐的最底部,就可以根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少。问题分析本题中,要求设计出一个精细的标尺。通常,刻度尺用来测量比较简单的几何体的某一维度。这里要测量油罐的剩油量,其实就是测量复杂几何体的容积问题。同时要求把几何体的容积转化成一维上的刻度。在本文中,我采取两种步骤:在步骤一,求出复杂几何体在高度成等差数列时下的对应体积;在步骤二,利用已经求出的刻度处的油量,通过插值或二分逼近法求标尺上对应的剩油量体积。模型假设在实际情况中,油罐的外形并不一定十分地完美,圆锥体和圆柱体的结合处也不一定十分光滑。在此,为了便于计算和分析,特作如下假设:油罐的外形由理想的圆锥体和圆柱体组合而成;油罐的圆柱部分和圆柱部分的结合处无缝隙、十分平滑;油罐处在水平面上;测量油量时,标尺粘带的油量对总油量的影响忽略不计;符号说明R:圆柱底面半径和圆锥底面半径L:圆柱长度A:圆锥高H:标尺被油浸湿位置的高度V:油罐内的油量Vc(H):圆柱中的储油量Vb(H):圆锥中的储油量S(H):圆柱截面中储油部分对应的弓形区域面积:弓形对应的圆心角一般()r:该弓形的半径h:该弓形的高Q(H,x)::圆锥体底面平行且距底面x处截面上表示储油部分的弓形区域面积()H:将区间[0,R]作n等分,一份大小Hi:将区间[0,R]作n等分,相应的第i个剖分点,i=0,1,2,……,nVi:Vb(H)在Hi处的值模型建立通过对问题的分析,在模型的假设成立的条件下,为了解决该问题,我们将问题分为两步解决。步骤一:将[0,R]区间,依精度需要分成n等份,得到剖分点=iH,i=1,2,3,……,n;其中H=.算出刻度位置处相应的油量,(i=1,2,3,……,n)分别利用解析法和数值解法求得刻度位置处的相应油量。步骤二:根据所需的各油量读数在上一步骤中某一油量区间,通过插值或二分逼近法获得相应的刻度位置值。并比较两种方法的优劣。(解析方法)由立体几何知识知剩油量由两部分组成:总储油量等于相应圆柱的储油量加两倍的圆锥的储油量。可记:先求圆柱的储油量。图1见图1,可得,利用三角函数表达式可得推出:再求两侧圆锥体的储油量。图2见图2,可得推出和推出:进而:借助数学软件可进一步求得: 最后将(2)(3)带入(1)得公式: (,数值方法)由于上述模型中积分难以计算,故而使用数值方法。将上面求方法改动,用数值法求。可得和推出平面与圆锥面相交的截面面积为而,求导: