文档介绍：恰当方程(全微分方程)一、概念全微分方程的解法接下来,我们探讨另外一类可用初等解法求解的方程类型。为此,将一阶正规形微分方程dy∫(x,y)改写成∫(x,y)dx-φy=0,或更一般地,P(x,ydx+Q(x,y地y=0的形式。由前面的例子可以看到,把微分方程写成这种形式的优点在于:既可以把y看成未知函数,x看成自变量;也可以把x看成未知函数,y看成自变量。即变量x与变量v在方程中的地位是对称的,因此也常称形式为P(x,ydx+Q(x,y)=0的方程为对称形式的微分方程一、概念定义:若有全微分形式do(x,y)=P(x,y)dx+o(x,y)dy则P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0称为全微分方程。通解则为Φ(x,y)=C(C为任意常数)。例1:方程Xdx+yay=0是否为全微分方程?解:令u(x,y)=(x2+y2),dh(x,y)=xx+ya所以是全微分方程例:求方程vax+xd=0的通解解:因为d(xy)=ydx+xay,所以vdx+xdy=0为恰当方程,且通解为xy=C问题:(1)如何判断全微分方程?(2)如何求解全微分方程?(3)如何转化为全微分方程?定理1设函数P(x,y和Q(x,y)在一个矩形区域R中连续且有连续的一阶偏导数,则P(x,y)a+Qx,y=0是全微分方程aP(x,y)aQ(x,y)证明:(1)证明必要性因为P(x,y)h+(x,y)h=0是全微分方程,则存在原函数Φ(x,y)得do(r,y)=P(r,y)dx+o(x,y)dy所以0①P(x,y),=Q(x,y)将以上二式分别对xy求偏导数,得到03①(x,y),Q(x,y)偏导数连续,aP00所以即(2)证明充分性aP8Q设,求一个二元函数Φ(x,y)使它满足do(x,y)=P(r,y)dx+o(x,y)dy这里agp即P(xy).=Q(xy)(xy)∈尺由第一个等式,应有d(x,y)=,+y(y)代入第二个等式,应有apcxOP(xdx+y'(y)ovoQ(x,y)dx+y(y)oQ(r,y2dx+y(y)Q(r,y)-Q(ro,y)+y(y)因此v(y)=0ny),则叭()=xy+C因此可以取x,y)=P(x,y+(x,y此时(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)这里由于OP_Q,故曲线积分与路径无关。因此Cx(x,y)=(x,y)P(x,y)dx+o(x,y)dy二、全微分方程的解法(1)线积分法:p(x,y)=P(r,y)dx+e(xo,y)dy(x,y)或φ(x,y)=Pxy)dxQ(x,y)d(0,y0)(2)偏积分法ap=P(x,y),一=Q(x,y)第一个等式对x积分0x,y)-P(xy+0(9代入第二个等式求W(y),即可得Φ(x,y)(3)凑微分法直接凑微分得c(x,y例2:验证方程(cosx+2xe)dx+(sinx+xe+2)dy=0是全微分方程,并求它的通解解:由于P(x,y)=cosx+2xeQ(x,y)=sinx+xe+2