曲线曲面积分方法小结.doc

文档介绍：与技巧曲线、:利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。?22,xdyydx?)?2xy(y?x0?)0O(0,LL的一段弧。)A(2,0本题以下采用多种方法进行计算。,?xx??x1??.?dxdyxAO解1:由的方程为由,?0?A,2OL?2?2,?xy?2xx?2x?是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的,选用的:解1分析因所求的积分为第二类曲线积分,曲线是有方向的,,应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。?AO点,上取2:在弧解),1B(1,?yy??y??,?O?B,01yL?2,?y?1?1x?2y1??,?yy??y?由的方程为由AB.?dydx?,B?0?A,1yL?2x?1?1?y,?2y1??分析:解2是选用参变量为利用变量参数化直接计算所求曲线积分的,在方法类,y型上与解1相同。不同的是以为参数时,路径不能用一个方程表示,因此原曲线积yL分需分成两部分进行计算,在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。?????AO由解3:的参数方程为由,,y?cos?sin?x1,?BA,0?O?L????.d??sincosd,dy?dx??AO的极坐标方程为因此参数方程为4解:,cos2?r?2??????由由,?2rcoscosx?,2sindy?rsincos?,AO?B?L,?0222??????.cossind2,dy?(cos)dx??4sind?仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方43和解分析:解程不是唯一的,采用不同的参数,转化所得的定积分是不同的,但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。P??QAO于因5:,添加辅助线段利用格林公式求解。解,?0??1?1,?x?y,QPy??x是0??,?ydx?xdy?00dx而2AO????ydx?xdy.?0?故得LAOAO?LP??Q???()dy?Q(x,dxdy?)yyP(x,)dx?在利用格林公式将所求曲线积分转分析:y??xLD采用“补,化为二重积分计算时,当所求曲线积分的路径非封闭曲线时,需添加辅助曲线必须在补路后的封闭曲线所围的区域路封闭法”进行计算再减去补路上的积分,但QP,AO?L的正向边界曲线。使曲线中添加了辅助线段是内有一阶连续偏导数。解5,AODL为正向封闭曲线。PQ??,?1?于是此积分与路径无关,故:由于解6,,Q?xyP?yx??PQ??,?内上应具有一阶连续偏导数,且在分析:因此所由于在闭区域Q,PDDyx??OA上积分,注意求积分只与积分路径的起点和终点有关,因此可改变在上的积分为在LO的起点。一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径,可使原积分得点对应L到简化。由全微分公式7:解),xy??xdyd(ydx分析:此解根据被积表达式的特征,用凑全微分法直接求出。22?,??yx1?(z?y)dx?(x?z)dy?