文档介绍：矩阵分析复****题 rV 是n 维线性空间 nV 的一个 r 维子空间, r???,,, 21?是 rV 的一组基, 证明这组向量必可扩充为整个空间的基。即,在 nV 中必可找到 rn?个向量 nrr???,,, 21???,使得 nrr????,,,,, 11???是 nV 的一组基。 :如果 21,VV 是线性空间 V 的子空间,那么它们的和 21VV?也是 V 的子空间. 1 2 , V V 是线性空间 V 的子空间,证明: ) dim( ) dim( ) dim( ) dim( 212121VVVVVV?????. )10 ,2,1( 1??,) 11,1,1( 2???,)01 ,1,2( 1???,)7,3,1,1( 2???.?? 211,???Span V ,?? 212,???Span V .求(1) 21VV?的基与维数;(2) 21VV?的基与维数. 1 2 , V V 是线性空间 V 的两个子空间,证明以下论断等价: (1) 1 2 V V ?是直和; (2)零向量分解式唯一(即,若 1 2 1 1 2 2 0, , , V V ????????则 1 2 0 ????.); (3)?? 1 2 0 V V ??; (4) dim ( 1 2 V V ?)= dim ( 1V )+ dim ( 2V ). 6. 设线性变换 T 在两组基 n???,,, 21?与 n???,,, 21?下的矩阵分别为 A 和 B ,从基 n???,,, 21?到基 n???,,, 21?的过渡矩阵为 P ,证明: AP PB 1??. ][xC n中,取两组基 nxxx,,,,1 2?(Ⅰ) nxn xx! 1,,!2 1,,1 2?(Ⅱ) D 为微分算子。(1 )求由( Ⅰ)到( Ⅱ)的过渡矩阵;(2 )求线性变换 D 在两组基下的矩阵。 ???????????122 212 221A (1)求矩阵 A 的特征值与特征向量; (2 )矩阵 A 是否与对角矩阵相似?如与对角矩阵相似,写出矩阵 P ,使 AP P 1?为对角形。 9. 设线性变换 T 在基 321,,???下的矩阵为?????????????201 034 011A , 求线性变换 T 的特征值与特征向量. 10. 在线性空间][xP n中,设线性变换 D 为)()(xfx Df ??. 求微分变换 D的特征多项式,并证明 D在任何一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵. 11. 设)( ijaA?是一个 n 阶正定矩阵, 而 Tnxxx),,,( 21???, Tnyyy),,,( 21???,在 nR 中定义内积为????A T?),( ,(1) 试证明在这个定义下, nR 为欧氏空间;(2) 求基)1,,0,0(, ),0,,1,0( ),0,,0,1( 21??????? n???的度量矩阵. 12. 在闭区间??, a b 上的所有实连续函数所构成的线性空间??, C a b 中,对于函数( ), ( ) f x g x 定义内积为( , ) ( ) ( ) ba f g f x g x dx ??证明??, C a b 在这