文档介绍：得到高精度方法的一个直接想法是利用Taylor展开假设式y'=f(x,y)(a≤x≤b)中的f(x,y)充分光滑,将y(xi+1)在xi点作Taylor展开,若取右端不同的有限项作为y(xi+1)的近似值,就可得到计算y(xi+1)的各种不同截断误差的数值公式。例如:-库塔方法2020/9/91其中P阶泰勒方法若取前三项,可得到截断误差为O(h3)的公式类似地,若取前P+1项作为y(xi+1)的近似值,便得到2020/9/92显然p=1时,yi+1=yi+hf(xi,yi)它即为我们熟悉的Euler方法。当p≥2时,要利用泰勒方法就需要计算f(x,y)的高阶微商。这个计算量是很大的,尤其当f(x,y)较复杂时,其高阶导数会很复杂。因此,利用泰勒公式构造高阶公式是不实用的。但是泰勒级数展开法的基本思想是许多数值方法的基础。R-K方法不是直接使用Taylor级数,而是利用它的思想2020/9/-库塔(R-K)法的基本思想Euler公式可改写成则yi+1的表达式与y(xi+1)的Taylor展开式的前两项完全相同,即局部截断误差为O(h2)。Runge-Kutta方法是一种高精度的单步法,简称R-K法2020/9/94同理,改进Euler公式可改写成上述两组公式在形式上共同点:都是用f(x,y)在某些点上值的线性组合得出y(xi+1)的近似值yi+1,且增加计算的次数f(x,y)的次数,可提高截断误差的阶。如欧拉法:每步计算一次f(x,y)的值,为一阶方法。改进欧拉法需计算两次f(x,y)的值,为二阶方法。局部截断误差为O(h3)2020/9/95于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式,构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合,从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在[xi,xi+1]这一步内多计算几个点的斜率值,然后将其进行加权平均作为平均斜率,则可构造出更高精度的计算格式,这就是龙格—库塔(Runge-Kutta)法的基本思想。2020/9/96一般龙格-库塔方法的形式为**其中ai,bij,ci为待定参数,要求上式yi+1在点(xi,yi)处作Tailor展开,通过相同项的系数确定参数。称为P阶龙格-库塔方法。Runge-Kutta方法的推导思想对于常微分方程的初值问题的解y=y(x),在区间[xi,xi+1]上使用微分中值定理,有即2020/9/98引入记号就可得到相应的Runge-Kutta方法2020/9/99如下图即则上式化为即Euler方法Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法2020/9/910