文档介绍：全国部分高校数学专业考研试题
第一部分多项式相关
1[师大2000] 设都是数域上的多项式,与互质,与被所除得到余式相同。证明与的积与互质。
2[师大2001] 对任意非负整数,证明
3[师大2001] 设是整系数多项式。与均为奇数,与中至少有一个为奇数,证明无有理根。
4[南京理工05] 设是奇素数,试证
在有理数域上不可约.
5[浙江2000]是数域上的不可约多项式
(1),且与有一公共复根,证明:。
(2)若及都是的根,是的任一根,证明:也是的根
6[大连04]设R,Q分别表示实数域和有理数域,:
,则在中也有。
,当且仅当在互素。
,则的根都是单根。
7[兰州04]设和是数域上的两个不完全为零的多项式。令
证明:(1)关于多项式的加法和乘法封闭,并且对于任意的和任意的k(x) F(x),有;
(2)中存在次数最小的首项系数为1的多项式,并且。
8[上海03] 假设被整除。证明:被整除
9[浙江03] 设是一个整系数多项式。证明:若存在一个偶数及一个奇数,使得与都是奇数,则没有整数根
10[中科院02] 设,且,其中均为实系数多项式。证明:(i);(ii);(iii)。
11[南京理工05] 判断是的几重根.
12[北京83] 设是相异的整数,证明多项式
在有理数上不可约
13[复旦99] 设是整系数多项式时素数,若可以整除但不能整除,且不能整除;求证是有理数域上的不可约多项式。
14[中科院05] 求7次多项式,使得能被整除,而能被整除.
15[云南04] 设都是实系数多项式满足:
证明都能被整除
16[东南04] 设为互不相同的整数
1求证在有理数域上不可约。
2 对整数问自有理数域上是否可约为什么/
17假设被整除。证明:被整除
18[天津师大02] 设是整系数多项式,与均为奇数,与中至少有一个为奇数,证明无有理根.
第二部分行列式
1[北科05] 计算行列式:.
2[南理工05]
设是级矩阵且,试证:的行列式.
3[同济03](1)设,求x。)
(2)设,求。
4[华东师大05] 计算行列式
5[兰大04] 计算下列行列式的值
6[同济98] 设,求
7[同济2000] 设,求
8[云大04] 计算行列式
9[浙大04] 计算n级行列式
(1)
(2)
10 [浙大2000]
11[天津师大99] 计算行列式
已知
12[天津师大2000] 计算下列行列式
1) 2)
13[天津师大01] 求阶行列式
14[天津师大02] 计算下列行列式
(注:上面的满足如下条件
设,那么当的时候,;当时,
15[南开03] 计算下列行列式
()
16[南开04] 设阶行列式
且满足对任意的求
17[南开02]
第三部分方程组
1[北大83] 用导出组的基础解系来表出线形方程组得一般解
2[东南04] 已知齐次线形方程组
其中,试讨论满足何种条件时:
方程只有零解。
方程有非零解,又基础解系写出一般解。
3[南理工05] 取什么值时,线性方程组
有解,并写出一般解。
4[南理工05]
设, ,,, 如果线性方程组的解全部是的解. 试证可由线性表出.
5[同济2000] 问K取何值时,下方程组。(1)有唯一解;(2)
无解;(3)有无穷多组解。这时求它的通解,其中,。
6[华中科技05]
解线性方程组其中为互不相等的数
7[华中科技05] 设为矩阵,为维列向量,证明有解的充分必要条件是对满足的维列向量也一定满足.
8[南开04] 设
:
的行向量组不是的基础解系.
令,求
9[天津师大01] 当取怎样的数值时,下列齐次线性方程组有非零解?对的这样的取值求方程组的非零解.
10[天津师大01] 设A为m行n列矩阵,如果对于任意m行n列矩阵B,线性方程组AX=B都有解,证明A的秩等于m.
11[天津师大00] 设A为n阶可逆矩阵,为A的伴随矩阵,为A划去前m行后得到的矩阵(0<m<n).记为的第i列,
证明为齐次线性方程组的基础解系.
当A不可逆时,有没有类似的结论(结论要具体,但不必证明).
12[天津师大99] 设A为数域F上的m行n列矩阵,为数域F上的m
行n列矩阵,线性方程组有解,是导出方程组的一个基础解系,证明
(1)是的s+1个线性无关的解;
(2) 的任一解可表示成的线性组合.
第四部分矩阵
1[天津师大02] 设矩阵满足如下条件
求矩阵.
2[[南开03] 设为数域上的可逆矩阵