文档介绍：分形几何
——数学与艺术结合的明珠
海岸线长度问题
二十世纪七十年代,法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中讨论英国海岸线的长度。他发现,这个问题取决于测量所使用的尺度。采用公里做单位,一些几米和几十米的曲折会被忽略,如果采用米做单位,测得的长度会曾加,但厘米以下的量仍然无法反映,测量单位的缩小使测得的长度曾加,由于在自然尺度之间有许多个数量级,这种曾加不会停止,海岸线的长度会趋于无限长。也就是说,长度不是海岸线的定量特征。
数学的不规则图形
实际上,在曼德尔勃朗特的问题提出之前,数学家就曾经构造过多种不规则的几何图形,他们具有和海岸线相似的性质。
Cantor集
Cantor在1883年构造了如下一类集合:取一段欧式长度为l的直线段,将该线段三等分,去掉中间的一段,剩下两段。再将剩下的两段分别三等分,各去掉中间的一段,剩下四段。将这个操作进行下去,直至无穷,可得到一个离散的点集,点数趋于无穷多,而长度趋于零。经无限次操作所得到的离散点集称为Cantor集。
Koch雪花线
瑞典数学家科赫( Koch)在1904年提出了一种曲线,它的生成方法是把一条直线段分成三段,将中间的一段用夹角为60度的两条等长折线来代替,形成一个生成元,然后再把每个直线段用生成元进行代换,经无穷次迭代后就呈现出一条有无穷多弯曲的Koch曲线。
Sierpinski集
首先,将一个等边三角形四等分,得到四个小等边三角形,去掉中间的一个,保留它的边。将剩下的三个小三角形再分别进行四等分,并分别去掉中间的一个,保留它的边。重复操作直至无穷,得到一个面积为零,线的欧式长度趋于无穷大的图形。这个图形被人们称为谢尔宾斯基缕垫。
Sierpinski地毯
其次,将一个正方形九等分,去掉中间的一个,保留四条边,剩下八个小正方形。将这九个小正方形再分别进行九等分,各自去掉中间的一个保留它们的边。重复操作直至无穷。
Sierpinski地毯
第三,对一个正六面体,将它的每条边进行三等分,即对正六面体进行27等分,去掉体心和面心处的7个小正六面体,剩下20个小正六面体,并保留它们的表面,重复操作直无穷,得到的图形。体积趋于零,而其表面的欧式面积趋于无穷大。
Sierpinski海绵
Sierpinski集的共同特点
它们都是经典几何无法描述的图形,是一种“只有皮没有肉”的几何集合。
它们都具有无穷多个自相似的内部结构,任何一个分割后的图形放大后都是原来图形的翻版。