文档介绍：第九讲复习立体几何
本讲进度
《立体几何》复习
二、本讲主要内容
空间几何图形的证明及计算。
三、复面之间位置关系的小结。如下图:
条件
结论
线线平行
线面平行
面面平行
垂直关系
线线平行
如果a∥b,b∥c,那么a∥c
如果a∥α,aβ,β∩α=b,那么a∥b
如果α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,那么a∥b
如果a⊥α,b⊥α,那么a∥b
线面平行
如果a∥b,aα,bα,那么a∥α
——
如果α∥β,aα,那么α∥β
——
面面平行
如果aα,bα,cβ,dβ,a∥c,b∥d,a∩b=P,那么α∥β
如果aα,bα,a∩b=P,a∥β,b∥β,那么α∥β
如果α∥β,β∥γ,那么α∥γ
如果a⊥α,a⊥β,那么α∥β
条件
结论
线线垂直
线面垂直
面面垂直
平行关系
线线垂直
二垂线定理及逆定理
如果a⊥α,bα,那么a⊥b
如果三个平面两两垂直,那么它们交线两两垂直
如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c
线面垂直
如果a⊥b,a⊥c,bα,cα,b∩c=P,那么a⊥α
——
如果α⊥β,α∩β=b,aα,a⊥b,那么a⊥β
如果a⊥α,b∥a,那么b⊥α
面面垂直
定义(二面角等于900)
如果a⊥α,aβ,那么β⊥α
——
——
空间元素位置关系的度量
(1)角:异面直线所成的角,直线和平面所成的角,二面角,都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。
异面直线所成的角:通过平移的变换手段化归,具体途径有:中位线、补形法等。
直线和平面所成的角:通过作直线射影的作图法得到。
二面角:化归为平面角的度量,化归途径有:定义法,三垂线定理法,棱的垂面法及面积射影法。
(2)距离:异面直线的距离,点面距离,线面距离及面面距离。
异面直线的距离:除求公垂线段长度外,通常化归为线面距离和面面距离。
线面距离,面面距离常化归为点面距离。
两个重要计算公式
cosθ=cosθ1·cosθ2
其中θ1为斜线PA与平面α所成角,即为∠PAO,θ2为PA射影AO与α内直线AB所成的角,θ为∠PAB。
显然,θ>θ1,θ>θ2
异面直线上两点间距离公式
设异面直线a,b所成角为θ
则EF2=m2+n2+d2±2mncosθ

4、棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直的性质解题,在正棱锥中,要熟记由高PO,斜高PM,侧棱PA,底面外接圆半径OA,底面内切圆半径OM,底面正多边形半边长OM,构成的三棱锥,该三棱锥四个面均为直角三角形。

5、球是由曲面围成的旋转体。研究球,主要抓球心和半径。
6、立体几何的学习,主要把握对图形的识别及变换(分割,补形,旋转等),因此,既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系,也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形。
四、典型例题
例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、1、C1D1、AA1的中点,O为AC与BD的交点(如图),求证:(1)EG∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H;(3)A1O⊥平面BDF;(4)平面BDF⊥平面AA1C。
解析:
(1)欲证EG∥平面BB1D1D,须在平面BB