文档介绍：§4 定积分在几何上的应用
一、元素法
二、平面图形的面积
三、体积
四、光滑曲线的弧长
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一、元素法
1 . 能用定积分表示的量Q所必须具备的三个特征:
(1) Q是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;
(2) Q对于区间[a,b]具有可加性.
即如果把区[a,b] 分成若干个子区间,则Q等于各子区间上部分量的总和.
(3) 部分量的近似值可表示为
2 .微元分析法
用定积分表示量Q的基本步骤:
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(1)根据问题的具体情况,选取一个变量
例如x为积分变量,并确定其变化区间[a,b];
(2)在区间[a,b]内任取一个小区间,
求出相应于这个小区间的部分量的近似值.
如果能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数
在处的值与的乘积,
就把称为量Q的微元且记作,
即
(3)以所求量Q的微元为被积表达式,
在区间[a,b]上作定积分,得
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二、平面图形的面积
1、直角坐标情形
分两种情况:
1°设函数
在区间
为连续函数且
则所围阴影面积
有:(如图)
面积元素
面积
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2°设函数
在区间
则所围阴影面积
有
面积元素:
面积
为连续函数且
(如图)
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例1 求由
所围图形面积.
解两曲线的交点为(2,-2)及(8,4).
根据此图形特点,可以选择y作为积分变量,其变化区间为[-2,4].
y
x
(2,-2)
(8,4)
图形的面积微元为:
从而可得图形面积
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如果曲边梯形的曲边为参数方程
曲边梯形的面积
一般地:
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解
椭圆的参数方程
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积.
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1. 曲边扇形
其中r()在[,]上连续,且r()0.
相应于[, +d]的面积微元为
则图形面积为
o
r=r()
设图形由曲线r=r()及射线=, =所围成.
取为积分变量,其变化区间为[,],
2、极坐标情形
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2. 一般图形
及射线=, =所围图形的面积微元为
则面积为
o
由曲线
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