文档介绍：情形一:积分区域关于坐标轴对称定理4设二元函数在平面区域连续,且关于轴对称,则1)当(即就是关于得奇函数)时,有、2)当(即就是关于得偶函数)时,有、计算,其中为由与围成得区域。解:如图所示,积分区域关于轴对称,且即就是关于得奇函数,由定理1有、类似地,有:定理5设二元函数在平面区域连续,且关于轴对称,则其中就是由轴分割所得到得一半区域。例6计算其中为由所围。解:如图所示,关于轴对称,并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数,由对称性定理结论有:、定理6 设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称,则(1)当或时,有、(2)当时,有其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。9例7计算二重积分,其中:、解:如图所示,关于轴与轴均对称,且被积分函数关于与就是偶函数,即有,由定理2,得其中就是得第一象限部分,由对称性知,,故、情形二、积分区域关于原点对称定理7 设平面区域,且关于原点对称,则当上连续函数满足1)时,有2)时,有、例8计算二重积分,为与所围区域、解:如图所示,区域关于原点对称,对于被积函数,有,有定理7,得、情形三、积分区域关于直线对称定理8设二元函数在平面区域连续,且,关于直线对称,则1);、2)当时,有、3)当时,有、例9 求,为所围、解:积分区域关于直线对称,由定理8,得,故、类似地,可得:定理9设二元函数在平面区域连续,且,关于直线对称,则(1)当,则有;(2)当,则有、例10计算,其中为区域:,、解:如图所示,积分区域关于直线对称,且满足,由以上性质,得:、注:在进行二重积分计算时,善于观察被积函数得积分区域得特点,注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性,恰当地利用对称方法解题,可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。