文档介绍：实验六多元函数的极值【实验目的】多元函数偏导数的求法。多元函数自由极值的求法多元函数条件极值的求法•学****掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容】4 2求函数zx8xy2y3的极值点和极值【实验准备】,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:(x,y)(x,y)0,fy(x,y) 0,(Xo,y。),求出二阶偏导数A24,bx2-,Cxy2z2,(xo,y。),计算判别式ACB2,如果ACB20,则该驻点是极值点,当A0为极小值,A0为极大值;,如果AC2B 0,判别法失效,需进一步判断;2如果ACB 0,(x,y)在有界区域D上连续,则f(x,y)在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D上的最大值和最小值的一般步骤为:(x,y)在D内所有驻点处的函数值;步骤2•计算f(x,y)在D的各个边界线上的最大值和最小值;,最终确定出在 D内的最大值和最小值。。diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。jacobian(f,x) 求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。可以用helpdiff,helpjacobian 查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练****1求函数zx48xy2y2 ,y的偏导数>>clear;symsxy;>>z=xA4-8*x*y+2*yA2-3;>>diff(z,x)>>diff(z,y)结果为ans=4*xA3-8*yans=-8*x+4*y即一z 4x38y,—z ,求得各驻点的坐标。一般方程组的符x y号解用solve命令,当方程组不存在符号解时, solve将给出数值解。求解正规方程的MATLAB代码为:>>clear;>>[x,y]=solve( '4*xA3-8*y=0' ,'-8*x+4*y=0' ,‘x','y')结果有三个驻点,分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数:>>clear;symsxy;>>z=xA4-8*x*y+2*yA2-3;>>A=diff(z,x,2)>>B=diff(diff(z,x),y)>>C=diff(z,y,2)结果为A=2*xA2B=-8C=4由判别法可知P(4,2)和Q(4,2)都是函数的极小值点,而点 Q(0,0)不是极值点,实际上,P(4,2)和Q(4,2)是函数的最小值点。当然,我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。>>clear;>>x=-5::5; y=-5::5;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=-8*X.*Y+2*-3;>>mesh(X,Y,Z)>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')^ ,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图局部信息丢失较多,观测不到图像细节•可以通过画等值线来观测极值 .>>contour(X,丫,Z,600)>>xlabel('x'),ylabel('y') ,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点P(4,2)和Q(4,2).根据提梯度与等高线之间的关系 ,梯度的方向是等高线的法方向且指向函数增加的方向•由此可知,极值点应该有等高线环绕而点Q(0,0)周围没有等高线环绕,不是极值点,..构造Lagrange函数L(x,y)xy(xy1),y,的一阶偏导数>>clear;symsxyk>>l=x*y+k*(x+y-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y)>>diff(l,k)得丄y,丄x,—xy1,再解正规方程x y>>clear;symsxyk>>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-仁O' ,'x','y','k')1 1 1得x -,y —, —,进过判断此点为函数的极大值点, 2 222练****3抛物面zxy被平面xyz 1截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最