文档介绍：近世代数习题解答
基本概念
1 集合
1.,但不是的真子集,这个情况什么时候才能出现?
解‏׃只有在时,
当,但不是的真子集,可知凡是属于而,显然矛盾;
若,但不是的真子集,可知凡属于的元不可能属于,故
,,A∩B=?
解‏׃此时, A∩B=A,
这是因为A∩B=A及由得AA∩B=A,故,,
及由得,故,
2 映射
1.=,找一个到的映射.
解‏׃此时

易证都是到的映射.
,是不是的每一个元都是到的一个元的的象?
解‏׃容易说明在之下,有的元不是的任何元的象;容易验证在之下,的每个元都是的象.
3 代数运算
1.={所有不等于零的偶数}.找到一个集合,使得普通除法
是到的代数运算;是不是找的到这样的?
解‏׃取为全体有理数集,易见普通除法是到的代数运算;同时说明这样的不只一个.
2..规定的两个不同的代数运算.
解‏׃
a b c
a
a b c
a b c
b
b c a
a
a a a
c
c a b
b
d a a
c
a a a
4 结合律
1.={所有不等于零的实数}.是普通除法:.这个代数运算适合不适合结合律?
解‏׃这个代数运算不适合结合律:
, ,从而.
2.={所有实数}.: 这个代数运算适合不适合结合律?
解‏׃这个代数运算不适合结合律
,
除非.
3.={},由表
a b c
a
a b c
b
b c a
c
c a b

所给的代数运算适合不适合结合律?
解‏׃经过个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.
5 交换律
1.={所有实数}.是普通减法:.这个代数运算适合不适合交换律?
解‏׃一般地除非.
2.,由表
a b c d
a
a b c d
b
b d a c
c
c a b d
d
d c a b
所给出代数运算适合不适合交换律?
解‏׃,
.
6 分配律
假定:是的两个代数运算,并且适合结合律,

证‏׃
=
=
=

7 一一映射、变换
1.={所有的实数},{所有实数}.找一个与间的意义映射.
证: 因为是大于零的实数,所以是实数
即,而,.
又给了一个的任意元,一定有一个的元,满足,因此是到的满射.
若, ,
是到的一一映射.
2. ={所有的实数},{所有实数,}. 找一个到的满射.
证,容易验证是到的满射.
,是的一个元. 若是的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?
解‏׃, 未必有意义;当是的一一变换时,
8 同态
1.={所有实数},?

证‏׃显然{所有的实数}.又由于
可知是到的同态满射.
由于( 除非)所以不是到的同态满射.
由于,={所有的实数}.
一般来说,,:所以不是到的同态满射
.
2.