高数下9.3三重积分及其计算.ppt

文档介绍：将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义.§、三重积分的概念三重积分的物理背景以(x,y,z)为体密度函数的空间物体,将闭区域n个小闭区域v1,v2,,vn,其中vi表示第i个小闭区域,也表示它的体积,在每个vi上任取一点(i,i,i),作乘积(i,i,i)vi(i=1,2,,n),并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,该和式的极限存在,则称此极限为空间物体的质量M,即当然,在三维空间定义的函数u=f(x,y,z)的“几何”意义是四维空间的“曲面”,我们可以想象,但无论如何也无法画出其“图形”,:定义:设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数,将闭区域任意分成n个小闭区域v1,v2,,vn,其中vi表示第i个小闭区域,也表示它的体积,在每个vi上任取一点(i,i,i),作乘积f(i,i,i)vi(i=1,2,,n),并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,该和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域上的三重积分,并记为即其中dv称为体积元素,:,如果我们用三族(平行于坐标的)平面x=常数,y=常数,z=常数,:dv=:由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质,、三重积分在直角坐标系中的计算法与二重积分类似,.(x,y)z=z1(x,y)z=z2(x,y)①先单后重:设闭区域(x,y),作垂直于xoy面的直线穿过闭区域.穿入时的下边界曲面方程:z=z1(x,y)穿出时的上边界曲面方程:z=z2(x,y)先将x,y看作定值,f(x,y,z)看作z的函数,则积分为闭区域Dxy上的函数,可以理解为压缩在平面薄片Dxy上的密度函数.(x,y)z=z1(x,y)z=z2(x,y)y=y1(x)y=y2(x)ab由三重积分的物理意义,若将f(x,y,z)理解为闭区域上的体密度函数,(x,y)(x,y)在平面薄片Dxy上二重积分:即下面只需将二重积分化成二次积分:不妨设Dxy为X—区域:y1(x)yy1(x),ax,或切条法(先z次y后x,或先z次x后y)注意:这是用平行于z轴(或垂直于xoy平面)且穿过闭区域内部的直线与闭区域:⑴投影:得平面区域;⑵穿越法定限:穿入点—下限,穿出点—,:将三重积分化成三次积分,其中为长方体,:将投影到xoy面得Dxy,它是一个矩形:cyd,axb,在Dxy内任取一点(x,y)作平行于z轴的直线,交边界曲面于两点,其竖坐标为l和m(l<m).abcd(x,y)ml例2:计算平面x+y+z=是三个坐标面与解:画出在xoy面上的投影区域Dxy:0y1–x,0x1,平行于z轴直线穿过的下曲面为z=0,上曲面为z=1–x–y,有0z1–x–+y+z=1x+y=1解:画出积分区域为由曲面z=x2+y2,y=x2,y=1,z=:化三重积分为三次积分,在xoy面上的投影区域Dxy:x2y1,–1x1,平行于z轴的直线穿过的下曲面为z=0,上曲面为z=x2+y2,有0zx2+y2.