文档介绍：高等数学知识在生物化学工程中的应用举例高等数学是生命科学学院校开设的重要基础课程,数学方法为生物化学的深入研究发展提供了强有力的工具。下面仅举一些用高等数学基础知识解决生物化学工程中的一些实际问题的例子,旨在启发学生怎样正确理解和巩固加深所学的知识,并且强化应用数学解决实际问题的意识。在化工原理中常用的柏努利方程式中的应用化工生产过程中常于密闭管道内输送液体,使液体流动的主要因素有(1)流体本身的位差;(2)两截面间的压强差;(3)输送机械向流体外作的外功。流动系统的能量衡量常用柏努利方程式,下面来介绍柏努利方程式。定态流动时液体的机械能衡量式为(1)该式队可压缩液体和不可压缩液体均适用。对不可压缩液体,(1)式中项应视过程性质(等温、绝热或多变过程)按热力学原则处理,对不可压缩液体,其比容或者密度为常数,故,代入(1)式有:或(2)(2)式称为柏努利方程式。需要注明的是,为动能,为位能,为静态能,为有效能,为能量损耗,为高度差。例2混合气体粘度的计算常温下混合气体的计算式为(3)其中为常温下混合气体的粘合度();为纯组分i的摩尔分率;为混合气体的温度下,纯组分i的粘度();为组分i的分子量(Kg/kmol)。例如:空气组分约为(均为体积积分率),试利用的粘度数量,计算常温下时空气的粘度?解:常温下空气可视为理想气体,故各组分的体积积分率等于摩尔分率,的分子量分别为32,,经查表知道常温下时各组分的粘度为代入(3)式计算空气的粘度,,培养基中的营养物质被消耗,一些有害的代谢产物在培养液中累积起来,细胞的生长速度开始下降,最终细胞浓度不再增加,进入静止期,在静止期细胞的浓度达到最大值。如果细胞的生长速率的下降是由于营养物质的消耗造成的,可以通过以下的分析来统计分批培养可能达到的最大细胞浓度。设限制性基质为A,其浓度为a,且A的消耗速度与细胞浓度成正比:(4)(4)式中为常数,假定接种后培养液中细胞浓度为,且立即进入指数生长阶段,且一直保持到静止期,则(5)其中为分批培养达到的最大细胞浓度,即A完全耗尽时细胞浓度,由(3)式和(4)式可得整理得也就是说分批培养过程中获得的最大细胞浓度与限制性基质的厨师浓度存在着线性关系。如果细胞及生长速度的下降是由于有害物质的积累,可以认为[1-f(有害物质浓度)]为方便起见,假定细胞生长速率与有害物质浓度有线性关系(5)其中k,b为常数,为有害物质浓度。由于有害物质有细胞产生,可以认为t=0时,=0(6)式中q为常数,由(6)式可得,代入(5)式有:因此有效生长速度为随着时间急剧下降,当时,细胞的生长停止。例4细胞团内的氧传递细胞集成团时,氧在细胞团中边扩散边备细胞消耗,为方便起见,把细胞团看作一个均匀的耗氧球体,设它的半径为R,密度为,取其半径为r,厚度为dr的一层球壳进行稳态时的物料衡量其中D为氧在细胞内的扩散系数,C为半径r处的氧浓度,将上式整理,可得到当时,因此(7)细胞的比耗氧速率与耗氧浓度的关系适用米氏方程式中为最大耗氧速率,为米氏常数,代入(7)式中,有(8)边界条件为r=R时,R=0时,取代入(8)式,有(9)其中。边界条件则改为x=1时,y=1x=0时,。设细胞团的表现比耗氧速率为,,整理得,(9)式可写作,因此有若取细胞团表面的比耗氧速率作为比较,则细胞元的耗氧有效因子为,a则反映了细胞团中最大反应速率与最大传输速率之比,反应速率越大,传递速率越小,细胞团内部缺氧就越重,有效因子也就越低。例5在中心导体模型中的应用长柱状细胞,如神经轴突和肌纤维细胞,其长度尺寸远大于细胞直径,电流横跨细胞膜的电阻往往比朱庄方向流经一段细胞内介质所代表的中心电阻高出很多,从而细胞流内流动的电流在溢出膜以前在柱轴方向内部导体中流过相当长距离,这种中心导体概念成为用电缆理论分析长纤维状细胞中电流、电位分布的基础。若设为单位长膜电阻,为单位长膜电容,分别为胞内、外液单位长介质电阻。令胞内、外电位分别为,于是膜两侧电位差。经推导可得:令则得到标准的电缆方程形式:若细胞膜处于电绝缘状态,单位长度膜面积上的电流,即=0,上式成为一阶常微分方程:解得:,其中为t=0时的值。显然时间常数表征均匀膜电位差的自然衰减性质。对非均匀性质莫而言,的被动衰减较为复杂,仅是一个主要衰减因子。当输入为直流稳态电压时,上式简化为。如果在x=0处维持,其余地方均不加任何电压,即处为有限值,则方程的解为。描述了中心导体中电压稳态分布将随距离而自然衰减。对于到的双无限长电缆,x=0处维持稳定值要求外加电流加倍。无限与半无限长电缆上的稳态分布,为实验确定细胞参数提供了依据。例6在动力学猝灭与静态猝死中的应用激发态分子或荧光团由于加入像I与等猝死剂,彼此发生碰