文档介绍：高考立体几何试题的几个创新视角
童其林(福建省永定县城关中学)
,独具匠心的立体几何创新试题层出不穷,常令人目不暇接,望“题”、用什么方法进行创新设计的呢?
一、“大跨度组合”视角
:达芬奇将数学中的“透视法”和绘画结合起来使绘画艺术进入一个新境界,孟德尔将“概率统计”和生物学结合起来创立了遗传学,牛顿和莱布尼兹将微分和积分结合起来发明了微积分,笛卡尔将实数对和两条数轴结合起来创立了解析几何,,这就使实现大跨度组合成为了可能,近几年在许多地方的试卷中都出现了这样的试题,为逐步摆脱题海战术,起到了良好的导向作用.
例1(2004年北京卷理科)如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是( )。
(A)直线(B)圆(C)双曲线(D)抛物线
分析:“距离”与解析几何中的“轨迹”巧妙地组合起来,将解析几何问题转化为平面几何问题,揭示了不同数学分支之间的内在联系,令人倍感清新和谐、,2004年重庆卷也有一道类似的高考题.
例2 (2004年重庆卷理科) 若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
分析:利用普性遍与特殊性的关系,首先考虑特殊图形,当AC⊥平面BCD时,,点P的轨迹是∠. 当AC不垂直于平面BCD时,如图3所示,设点P到平面DBC、到边BC和到边AB的距离分别为h、dBC 、dAB,设A-BC-D的大小为θ,则=sinθ≤1,所以答案选D.
【评注】显然在这个相类似的问题中,重庆卷的题目比北京卷的要难一些.
二、“归纳、类比”视角
开普勒说:“我珍视类比胜于任何别的东西,它是我最信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何学中它应该是最不容忽视的.”立体几何是考查学生思维能力和空间想象能力的绝好素材,归纳、类比是思维能力的重要组成部分,也是新课程的重要内容,,有效地考查了学生的创新能力.
例3(2003年全面几何中,有勾股定理:“设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直,则.”
分析:关于空间问题与平面问题的类比,通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比:多面体多边形,体积面积,面积线段长,面边,二面角平面角……,要探讨的是题设的三棱椎A-,可取一特殊三棱椎A-BCD,它的三条侧棱两