文档介绍：“等时圆”模型的规律及应用等时圆模型(如图所示)图a图b等时圆规律:1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下,滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。(如图a)2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下,滑到圆的底端的时间相等。(如图b)3、沿不同的弦轨道运动的时间相等,都等于小球沿竖直直径()自由落体的时间,即(式中R为圆的半径。)三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为,圆的直径为(如右图)。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动,加速度为,位移为,所以运动时间为即沿各条弦运动具有等时性,运动时间与弦的倾角、长短无关。四、应用等时圆模型解典型例题例1:如图1,通过空间任一点A可作无限多个斜面,若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下,那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是()【解析】:由“等时圆”可知,同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上,所以A正确。OABLLD图2例2:如图2,在斜坡上有一根旗杆长为L,现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部,又知OB=L。求小环从A滑到B的时间。【解析】:可以以O为圆心,以L为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知,从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间,所以有例3:如图5所示,在同一竖直线上有A、B两点,相距为h,B点离地高度为H,现在要在地面上寻找一点P,使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板,满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等,求O、P两点之间的距离。图6ABPHhOO1ABPHhO图5解析:由“等时圆”特征可知,当A、B处于等时圆周上,且P点处于等时圆的最低点时,即能满足题设要求。如图6所示,此时等时圆的半径为:所以PAθB图8CO例4:如图7,AB是一倾角为θ的输送带,P处为原料输入口,为避免粉尘飞扬,在P与AB输送带间建立一管道(假使光滑),使原料从P处以最短的时间到达输送带上,则管道与竖直方向的夹角应为多大?AθB图7P解析:借助“等时圆”,可以过P点的竖直线为半径作圆,要求该圆与输送带AB相切,如图所示,C为切点,O为圆心。显然,沿着PC弦建立管道,原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而,要使原料从P处到达输送带上所用时间最短,需沿着PC建立管道。由几何关系可得:PC与竖直方向间的夹角等于θ/2。三、“形似质异”问题的区分1、还是如图1的圆周,如果各条轨道不光滑,它们的摩擦因数均为μ,小滑环分别从a、b、c处释放(初速为0)到达圆环底部的时间还等不等?解析:bd的长为2Rcosθ,bd面上物体下滑的加速度为a=gcosθ-μgsinθ,tbd==2。可见t与θ有关。2、如图9,圆柱体的仓库有三块长度不同的滑板aO、bO、cO,其下端都固定于底部圆心O,而上端则搁在仓库侧壁,三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑(忽略阻力),则()A、a处小孩最先到O点B、b处小孩最先到O点C、c处小孩最先到O点D、a、c处小孩同时到O点解析:三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑,但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上,所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为R,则=gsinθt2,t2=,当θ=450时,t最