文档介绍：1因子分析 2 §1 引言因子分析(factor analysis) 是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系,探求观测数据中的基本结构,并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量,而假想变量是不可观测的潜在变量,称为因子。例如,在企业形象或品牌形象的研究中,消费者可以通过一个有 24 个指标构成的评价体系,评价百货商场的 24 个方面的优劣。 3 但消费者主要关心的是三个方面,即商店的环境、商店的服务和商品的价格。因子分析方法可以通过 24 个变量,找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子,对商店进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为: iiiiiiFFFx?????????? 33221124 ,,1??i 称是不可观测的潜在因子。 24 个变量共享这三个因子,但是每个变量又有自己的个性, 不被包含的部分,称为特殊因子。 321FFF、、 i? 4注: 因子分析与回归分析不同,因子分析中的因子是一个比较抽象的概念,而回归因子有非常明确的实际意义; 主成分分析分析与因子分析也有不同,主成分分析仅仅是变量变换,而因子分析需要构造因子模型。主成分分析:原始变量的线性组合表示新的综合变量,即主成分; 因子分析:潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。 5 § 2 因子分析模型一、数学模型设个变量,如果表示为 iX ),,2,1(pi?? p 1 1 i i i im m i X a F a F ? ?? ?????)(pm? 1 1 11 12 1 1 1 2 2 21 22 2 2 2 1 2 mm p p p p pm p mXF XF XF ? ????? ????? ????? ???? ???? ?? ???? ???? ?? ???? ???? ?? ? ?? ???? ???? ?? ???? ???? ?? ?? ???? ?????? ???????或?? ?? Xμ AF 或 6 称为公共因子,是不可观测的变量, 他们的系数称为因子载荷。是特殊因子,是不能被前m个公共因子包含的部分。并且满足: mFFF,,, 21? i?IFD??????????????1 1 1)(? cov( , ) 0, F???,F 即不相关; mFFF,,, 21?即互不相关,方差为 1。 7????????????? 2 22 21)( pD?????即互不相关,方差不一定相等, 。),0(~ 2iiN?? 8用矩阵的表达方式 X- μ= AF+ ε( ) E? F 0 ( ) E?ε0 ( ) Var ? F I 2 2 2 1 2 ( ) ( , , , ) p Var diag ? ? ??ε? 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cov( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pp p p p p E F E F E F E F E F E F E E F E F E F ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ??? ? ?? ?? ?? ? F,εFε0 ??? ? ?? 9二、因子分析模型的性质 1 、原始变量 X的协方差矩阵的分解 X- μ= AF+ ε?( ) ( ) ( ) Var Var Var ? X- μ= A F A+ ε? xΣ= AA + D A是因子模型的系数 2 2 2 1 2 ( ) ( , , , ) p Var diag ? ? ?? ?εD? D 的主对角线上的元素值越小,则公共因子共享的成分越多。 10