文档介绍：利用Excel进行时间序列的谱分析(I)在频域分析中,功率谱是揭示时间序列周期特性的最为有力的工具之一。下面列举几个例子,分别从不同的角度识别时间序列的周期。1时间序列的周期图【例1】某水文观测站测得一条河流从1979年6月到1980年5月共计12月份的断面平均流量。试判断该河流的径流量变化是否具有周期性,周期长度大约为多少?分析:假定将时间序列xt展开为Fourier级数,则可表示为(1)式中fi为频率,t为时间序号,k为周期分量的个数即主周期(基波)及其谐波的个数,εt为标准误差(白噪声序列)。当频率fi给定时,式(1)可以视为多元线性回归模型,可以证明,待定系数ai、bi的最小二乘估计为(2)这里N为观测值的个数。定义时间序列的周期图为,(3)式中I(fi)为频率fi处的强度。以fi为横轴,以I(fi)为纵轴,绘制时间序列的周期图,可以在最大值处找到时间序列的周期。对于本例,N=12,t=1,2,…,N,fi=i/N,下面借助Excel,利用上述公式,计算有关参数并分析时间序列的周期特性。第一步,录入数据,并将数据标准化或中心化(图1)。图1录入的数据及其中心化结果中心化与标准化的区别在于,只需将原始数据减去均值,而不必再除以标准差。不难想到,中心化的数据均值为0,但方差与原始数据相同(未必为1)。第二步,计算三角函数值为了借助式(1)计算参数ai、bi,首先需要计算正弦值和余弦值。取,则频率为(图1)。将频率写在单元格C3-C14中(根据对称性,我们只用前6个),将中心化的数据转置粘贴于第一行的单元格D1-O1中,月份的序号写在单元格D2-O2中(与中心化数据对齐)。图2计算余弦值的表格在D2单元格中输入公式“=COS($B$1*$D$2*C3)”,;按住单元格的右下角右拉至O3单元格,得到f=1/12=,t=1,2,…,12时的全部余弦值。在D2单元格中输入公式“=COS($B$1*$D$2*C4)”,;按住单元格的右下角右拉至O4单元格,得到f=2/12=,t=1,2,…,12时的全部余弦值。依次类推,可以算出全部所要的余弦值(在D3-O8区域中)。根据对称性,我们的计算到k=6为止(图2)。注意,这里B1单元格是2π=(图中未能显示)。在上面的计算中,只要将公式中的“COS”换成“SIN”,即可得到正弦值,不过为了计算过程清楚明白,最好在另外一个区域给出结算结果(在D17-O22区域中,参见图3)。图3计算正弦值的表格第三步,计算参数ai、bi利用中心化的数据(仍然表作xt)计算参数ai、bi。首先算出xtcos2πfit和xtsins2πfit。在D9单元格中输入公式“=D1*D3”,;按住单元格的右下角右拉至O9单元格,得到f=1/12=,t=1,2,…,12时的全部xtcos2πfit值;,再除以6,即得a1=。在D10单元格中输入公式“=D1*D4”,;按住单元格的右下角右拉至O10单元格,得到f=2/12=,t=1,2,…,12时的全部xtcos2πfit值;加和得-,再除以6,得到a2=-。其余依此类推。将上面公式中的余弦值换成正弦值,即可得到bi值(见下表)。上面的计算过程相当于采用式(2)进行逐步计算。第四步,计算频率强度利用式(3),非常容易算出I(fi)值。例如其余依此类推(见图4)。图4计算频率强度第五步,绘制时间序列周期图利用图4中的数据,不难画出周期图(图5)。图5某河流径流量的周期图(1979年6月-1980年5月)第六步,周期识别关键是寻找频率的极值点或突变点。在本例中,没有极值点,但在f1=1/12=,频率强度突然增加(陡增),而此时T=1/f1=12,故可判断时间序列可能存在一个12月的周期,即1年周期。【例2】为了映证上述判断,我们借助同一条河流的连续两年的平均月径流量(1961年6月-1963年5月)。原始数据见下图(图6)。图6原始数据及部分处理结果将原始数据回车时间序列变化图,可以初步估计具有12月变化周期,但不能肯定(图6)。图6径流量的月变化图(1961年6月-1963年5月)按照例1给出的计算步骤,计算参数数ai、bi,进而计算频率强度(结果将图7)。然后绘制时间序列的周期图(图8)。注意这里,N=24,我们取k=12。图7参数和频率强度的计算结果从图8中可以看出,频率强度的最大值(极值点)对应于频率f1=1/12=,故时间序列的周期判断为T=1/f1=12。这与用12月的数据进行估计的结果是一致的,但由于例2的时间序列比例1的时间序列长1倍,故判断结果更为可靠。图