文档介绍：实变函数第四节微分与不定积分44有界变差函数目的:进一步了解单调函数的性质,熟悉有界变差函数的定义,掌握其性:质。重点与难点:单调函数的性质,有界变差函数的定义及其性质第四节有界变差函数基本内容单调函数可导性的推论问题1:如果f是单调函数序列,且,不难看出f也是单调的,从而也几乎处处有有限导数f的导数与f的导数有什么关系?等式是否成立?第四节有界变差函数(1)Fubini定理问题2:跳跃函数的导数是什么?推论1(Fubini)设是上的单调增加有限函数序列,且在上处处收敛到有限函数f,则第四节有界变差函数证明:不妨设否则可令,对讨论就行了。记S(则都是单调增加函数,故去掉一个零测集E后,都存在。第四节有界变差函数因及单调增加,故其导数均非负,从而当时,由此得,级数=11xC几乎处处收敛。往证第四节有界变差函数由于,对任意自然数k,可取,使得f(-S.(但也是单调增加函数,且》5(,所以,第四节有界变差函数这说明也是由单调增加函数列构成的收敛级数,将上面关于的结论用到上,得第四节有界变差函数进而,级数的通项趋于0,即也即OoC证毕。第四节有界变差函数推论2若是上跳跃函数,则证明:设是上的单调增加函数,注意对任意由推论1立得证明。第四节有界变差函数单调函数导数的可积性问题3:从跳跃函数的导数几乎处处为零可以看出,单调函数的导数未必满足Newton-Leibniz公式,考虑更弱的问题:单调函数的导数是否R可积?是否L可积?其导函数的积分与该函数有没有什么关系?