高等数学复习题(附答案).docx

文档介绍：:..x11、证明:ln(1x)x,(x0)1x证明:设f(x)ln(1x),在[0,x]上应用拉格朗日定理有xx,0xln(1)1从而得:x11xx1,于是有x,即xxln(1)1x11x11x。12、求证:xf(sinx)dxf(sinx)dx.。002解:证:令xt,则dxdt,当x0时,t,x时t0,令Ixf00(sinx)dx(t)f(sin(t))dt(t)f(sitn)dt00f(sint)dttf(sint)dtf(sint)dtI,00If(sinx)dx。2013、求f(x)x2arctanx的极值,并讨论方程x2arctanx0的实根个数。解2x1f(x)x2arctaxnf,x(),21x令,得,f(x)0x1x14xf(x),f(1)0,f(1)0,22(1x)f(1)1为极大值,f(1)1为极小值。22f(1)0,f(1)0,limf(x),limf(x),xx方程有三个根。x14、证明方程x210在[0,1]内至少有一个实根。x证明:设f(x)x21,[0,1]是f(x)的定义区间,所以f(x)在[0,1]上连续;又f(0)=-1,f(1)=1,由零点存在定理,f(x)在[0,1]至少有一个实根。