数值计算方法教案_插值方法.doc

文档介绍：复**** : 已知函数?? y f x ?在 n+1 个点 0 1 , , , n x x x ?上的函数值 0 1 , , , n y y y ?,求任意一点 x ?的函数值?? f x ?。说明:函数?? y f x ?可能是未知的;也可能是已知的,但它比较复杂,很难计算其函数值?? f x ?。解决方法: 构造一个简单函数?? P x 来替代未知(或复杂)函数?? y f x ?,则用?? P x ?作为函数值?? f x ?的近似值。二、泰勒( Taylor )插值 1. 问题提出: 已知复杂函数?? y f x ?在 0x 点的函数值?? 0 f x ,求 0x 附近另一点 0 x h ?的函数值?? 0 f x h ?。 2. 解决方法: 构造一个代数多项式函数?? n P x ,使得?? n P x 与?? f x 在 0 x x ?点充分逼近。泰勒多项式为: ?????????????????? 2 0 0 0 0 0 0 0 2! ! nn n f x f x P x f x f x x x x x x x n ???? ? ???????显然, ?? n P x 与?? f x 在 0 x x ?点,具有相同的 i阶导数值( i=0,1, …,n)。 3. 几何意义为: ?? n P x 与?? f x 都过点???? 0 0 , x f x ;?? n P x 与?? f x 在点???? 0 0 , x f x 处的切线重合; ?? n P x 与?? f x 在点???? 0 0 , x f x 处具有相同的凹凸性; 其几何意义可以由下图描述,显然函数?? 3 f x 能相对较好地在 0x 点逼近?? f x 。 4. 误差分析(泰勒余项定理):???????????? 110 1 ! nn nf P x f x x x n ???? ? ??,其中?在 0x 与x 之间。 5. 举例: 已知函数?? f x x ?,求?? 115 f 。分析:本题理解为,已知“复杂”函数?? f x x ?在 0x =100 点的函数值为?? 010 f x ?, 求 0x 的附近一点 0x +15 的函数值?? 015 f x ?。解: ( 1)构造 1次泰勒多项式函数?? 1 P x :???????? 1 0 0 0 P x f x f x x x ?? ? ?。其中???? 0 100 10 f x f ? ?,?? 1212 f x x ???,???? 01100 20 f x f ? ?? ?,则有: ?? 1 5 P x x ? ?故有???? 1 115 115 f P ? ?误差分析: ???????? 2 1 115 115 115 100 2! f P f ???? ? ?函数?? f x ??在[100,115] 区间绝对值的极大值为?? 4 100 10 f ???? ?, 则有: ???? 1 115 115 P f ? ??于是近似值 有三位有效数字。几何意义:显然, ?? 1 P x 也过点( 100,10 ) ,且?? 1 P x 就是函数?? f x x ?在点( 100,10 ) 处的切线,如下图所示。( 2)构造 2次泰勒多项式函数?? 2 P x :???????????? 20 2 0 0 0 0 2! f x P x f x f x x x x x ???? ? ???。把?? 100 10 f?,?? 1100 20 f ??及?? 4 100 10 f ???? ?代入,有???? 2 115 115 f P ? ?。分析误差???????? 3 2 115 115 115 100 3! f P f ?????