文档介绍：1 概率论概要( 2011 - 12 修改) 概率论——研究随机现象数量规律的数学分支, 有较长的历史。早于 16 世纪, 一些数学家已经探讨过掷骰子等赌博中出现的各种概率计算问题。瑞士数学家 . Bemoulli 在18 世纪初发现和证明了概率论中的第一个极限定理,即 . Bemoulli 大数定律; 随后, 法国数学家 . Laplace 在前人研究的基础上证明了第二个极限定理,即 - . Laplac e 中心极限定理;而 20 世纪初完成的测度论和抽象积分论的基础上,前苏联数学家 . Kolmogorov 完成了了概率空间公理化,给出了条件期望和条件概率的严格数学定义,这是概率论现代化的里程碑。一事件与概率 1 随机试验,随机事件及其运算。在一定条件下,其结果不能预先确定而可以重复进行的试验称为随机试验。随机试验的每一个可能结果?称为基本事件或样本点,全体可能结果}{???称为样本空间。随机事件A 时由若干个基本事件组成,即样本空间的子集: ??A 。而全空间?称为必然事件, 空集 0?称为不可能事件. 事件 A 发生的可能性的度量称为这个事件的概率,记为)(AP 。事件的关系与运算以下引进事件的关系和运算. 既然事件是集合, 故事件也遵守集合运算的规则. 以下设,... ,,CBA 为事件.“事件 A 在某次试验中发生”, 用集合论的语言就是 A??, 其中?为这次试验的结果. 包含关系 BA?意味: A 发生, B ?????. 并BA?意味: A 发生或 B 发生。即?? BorABA?????????,: . 交BA?意味: A ,B 同时发生。即?? Band ABA?????????,: . 差BA?意味: A 发生但 B 不发生。即?? BABA?????????,: . 对立事件 AA???,即 A 不发生. 若0???BA ,称A ,B 互不相容,即A ,B 不可能同时发生. 这时可记 BABA???. (一般记 AB BA??,不论是否相容) 运算规律交换律 ABBAABBA??????, . 结合律 CBACBACBACBA??????????)()(,)()( . 分配律)()()( ),()()(BABACBA BABACBA????????????. 对偶律 BABABABA??????, . 对偶律可以推广到有限或无限个事件的情形,例如,对事件,... , 21AA 有??????? 11i ii iAA ,??????? 11i ii iAA 上面的其他运算规律也有类似的推广。 2 事件与概率的数学定义,概率空间的概念( 柯尔莫哥洛夫公理体系) 2 一般来讲,我们所关心的事件随着目的和场合的不同而不同,就是在同一样本空间?中, 各种各样的事件族都可能成为被考察的对象. 在概率论中, 事件族 F 要求满足如下公理: 公理 1)F??; 2)若FA?,则 FA?; 3)若,... 2,1,??nFA n ,则 FA n n???? 1; 同时满足三个公理的事件族 F 称为?代数. 我们还容易知道 F 有如下性质: 4)F??0 (因为 0???); 5)若,... 2,1,??nFA n则FA n n???? 1 (由对偶律) . 确定好我们关心的事件族?代数 F 后, 再去考虑 F 中事件发生的概率( 或称概率测度). 事件 FA?发生的概率记为?? AP ( 直观上,?? AP 表示事件 A 发生的可能性), 要求它满足如下公理: 公理 1),FA??1)(0??AP ; 2)???P =1 ; 3) 完全可加性: 若,... 2,1,??nFA n, 且互不相容,则????????? 11)( n nn nAPAP 由公理容易推出 4)?? 00??P (在 3 )中令 nA n???,0 ,即可); 5) 有限可加性: 若nkFA k,..., 1,??, 且互不相容,则???? nk k nk kAPAP 11)( ???(在 3 )中令 nkA k????,0 ,即可) PF,,?三者的结合物?? PF,,?称为概率空间。以上是柯尔莫哥洛夫提出的概率空间的公理体系。柯尔莫哥洛夫公理体系同现代的几何基础公理体系不去界说诸如点,线, 面这些几何基本元素一样, 着眼于规定事件与事件的概率的最基本的性质与关系, 而不去解释它们的现实背景与含义; 将概率论建立在坚实的数学基础之上. 3 概率的其他性质 1) 加法公式)()()()( AB PBPAPBAP?????? ni i n kji kjIji ji ni i ni iAPAAAPAAPAPAP 1 1 11)()1(...)()()()(