文档介绍：1 第三章连续型随机变量教学目的 1 .使学员掌握一、二维分布函数的定义及性质 2 .使学员熟练掌握一维连续型分布函数与密度函数的关系,熟悉均匀分布,指数分布, ??分布的密度。 3 .使学员熟记正态密度及其性质,牢固掌握正态分布表的查法。 4. 使学员掌握二维连续型随机变量联合分布( 密度) 与边际分布( 密度) 的概念及计算, 了解条件分布的概念。 5 .使学员牢固掌握连续型随机变量独立性的概念及判别。 6 .使学员掌握一、二维连续型随机变量函数的分布,熟记 2?,t,F 分布的构造性定理(了解其推导) 7 .使学员牢固掌握连续型随机变量期望、方差的定义、性质,熟记正态分布的期望、方差、均方差, 掌握随机变量协方差( 含协方差阵) 相关系数, 矩概念, 了解条件期望的概念。 8. 掌握一维随机变量特征函数的定义及性质, 熟记单点分布, 二项分布、正态分布的特征函数,了解有关结论的推导,了解逆转公式,理解唯一性定理的含义。§ 随机变量及分布函数定义 设(PF,,?)是一个概率空间,对于?????,??是一个取实值的单值函数, 对任意的 1??B ,有{?? B????: }F?, 则称????为(F,?) 上的一个(实) 随机变量。上面的 1?表1R 上的 Borel ??域由1?的构成可见{?? x,:?????}}{x????是一个事件,这个事件的概率是研究????的统计规律的基础,这个概率显然与 x 有关,是 x 的函数,我们称它为????的分布函数。 2 定义 ?(PF,,?)是一概率空间, ?为定义在( F,?)上的随机变量,我们称???? xPxF??? 1Rx?( ) 是随机变量????的概率分布函数, 简称分布函数或分布用 fd. 简记。由概率测度的性质易推出,分布函数具有如下基本性质定理 变量?? xF 是?..vr 的fd. ,则有(1) 对任意实数 21xx?,有???? 21xFxF?,( 单调不减性)( ) (2)????,0 lim ????????xFF x ( )???? 1 lim ????????xFF x ( ) (3) 对一切 1Rx?,???? xFxF??0 ( 左连续性) (3. 4) 证:(1 )由???? 21xx?????可得(2 )由分布函数的定义有?? 10??xF ,由( 1)?? xF 又是单调函数,故有???? mFxF mx ??????? lim lim ,???? nFxF nx ??????? lim lim (nm, 为整数) 由概率的可列可加性有 1=??????????????????????kkkPP1?????=????????? kkkP1??=????????????????????????????? nmkn m nmkn mkFkFkkP1 lim 1 lim ??=???? mFnF mn ??????? lim lim 所以必有???? 0 lim lim ????????xFmF xm???? 1 lim lim ????????xFnF mm 3 (3 )因?? xF 单调有界,所以对任一实数点 x ,?? xF 的左极限存在,且?????? nn nxxxFxFxF ?????? lim lim 0 其中?????nxxxx n?????? 21 又因为??????????? 1 1 1k kkxxxx????由概率的可列可加性??????????? 1 1 1k kkxxPxxP????由上述消去?? 1xF 得?????? 0 lim ?????xFxFxF nn 反过来,也能证明,满足上述( 1) ——(3 )的函数是一个概率分布函数。由上述可知,分布函数是一种分析性质良好的函数,便于处理。易验,对任意 1??B?? BP??可用?的fd. 表示出来。由??????????????? 11 nn xx??及概率的连续性得???? 0 1 lim 1 lim???????????????????????xFn xFn xPxP nn???( ) ???? 01???xFxF??( ) ???? xFxF???1?( ) ?????? xFxFxF????0?( ) ?????? 0 1221???xFxFxxF???( ) 可见分布函数?? xF 全面描述了随机变量的统计规律,对于离散型随机变量来说,其分布列和分布函数是一一对应可互推的,但在离散型场合,我们用分布列更方便。 4 例 将三个可辨的质点随机投入三个格子(假定每个格子装任意多质点)以?表空格数,求?的分布列及分布函数。并求?? 23????P 。解:显然?的的可能取