文档介绍：§ 协方差和相关系数问题对于二维随机变量( X ,Y ): 已知联合分布边缘分布对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系. 问题: 用一个怎样的数去反映这种联系. , Y独立,则根据数学期望的性质,有 E( XY ) =EX EY 为 X,Y ??( , ) ( )( ) Cov X Y E X EX Y EY ? ??称??( )( ) E X EX Y EY ? ?定义 E {( X-EX )( Y-EY )} =E ( XY )- EX EY= 0 X,Y独立?E {( X-EX )( Y-EY )}=0 ??( )( ) E X EX Y EY ? ?数反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 Cov (X, Y )=E( XY )- EX ? EY .证明??( , ) ( )( ) Cov X Y E X EX Y EY ? ??{ } E XY X EY Y EX EX EY ? ??????( ) E XY EX EY ? ??若( X ,Y ) 为离散型, 1 1 ov( , ) [ ( )][ ( )] i j ij i j C X Y x E X y E Y p ? ?? ?? ????若( X ,Y ) 为连续型, ov( , ) [ ( )][ ( )] ( , ) C X Y x E X y EY f x y dxdy ????????? ??? ?(1) Cov (X, Y )= Cov (Y, X ); (2) Cov( X,X ) =D (X) ; Cov ( X,c )=0; (3) Cov (aX , bY )= abCov (X, Y ), 其中 a, b 为常数; (4) Cov ( X+Y,Z )= Cov (X, Z) +Cov (Y, Z ); 协方差性质(5) 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 ( , ) D C X C Y C DX C Cov X Y ? ???性质 1,44 ),(16 )(16 )(4)( ????YX Cov YDXDWD解,1,3?? DY )(12 ),(6),(16 )(8 ???????YDXY Cov YX Cov XD )42,134(),(YXYX Cov WV Cov?????,33 ),(24 )(9)(16 )( ????YX Cov YDXDVD例1 :设随机变量 X?B (12,) , Y ?N(0,1), Cov ( X,Y )=-1, 求 V=4X+3Y+1 与 W=-2X+4Y 的方差与协方差定义:当 Cov ( X,Y )=0时,称 X与 Y 不相关。“X与 Y 独立”和“X与Y不相关”有何关系? 性质 2“X与 Y 独立”?“X与Y不相关”,反之未必成立. 例2 设( X, Y )在D={( x, y ):x 2 +y 2?1}上服从均匀分布,求证: X与 Y 不相关,但不是相互独立的。性质 3 X与Y为随机变量,则下列结果等价(1) X,Y 不相关; (2) Cov( X,Y )=0; (3) E ( XY )= EX EY ; (4) D( X+Y )= DX+DY . (*) 1. 定义若随机变量 X,Y的方差和协方差均存在, 且 DX >0 ,DY >0 ,则 DY DX YX Cov XY),(????注1:若记* ( ) X E X X DX ??称为 X 的标准化,易知 EX * =0 , DX *=).(),( ** **YXEYX Cov XY???称为 ? XY? X , Y 不相关( , ) 0 Cov X Y ?)()()(YEXE XY E?)()()(YDXDYXD??? X ,Y 相互独立 X , Y 不相关若( X ,Y ) ~ N ( ? 1,? 1 2, ? 2, ? 2 2, ?), 则 X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关注3