文档介绍：1. (X,Y) 是二维随机变量,称量 E{[X ? E(X)][Y ? E(Y)]} 为随机变量 X和Y的协方差,记作 cov(X,Y ),即 cov(X,Y )=E{[X ? E(X)][Y ? E(Y)]} 一一. .协方差协方差 P116 P116 )(YXD?)]} ([ )]( {[2)()(YEYXEXEYDXD??????上节课方差性质 3证明中), cov( 2)()(YXYDXD??? )()()(), cov(YEXE XY EYX??证明: 证明: )]} ([ )]( {[), cov(YEYXEXEYX??????)()()()(YEXEX YE Y XE XY E????)()()()()()()(YEXEXEYEYEXE XY E????)()()(YEXE XY E??由数学期望性质可知: 若X和Y相互独立,则 cov(X,Y )=0 所以)()()(), cov(YEXE XY EYX?? P117 cov(X,Y )= cov(Y,X ). cov ( aX , bY )= a b cov(X,Y ),其中 a,b 是常数. cov(X 1 +X 2 ,Y)= cov(X 1 ,Y) +cov(X 2 ,Y) cov(X,X )= D(X) 由方差性质 3的推导过程和协方差性质可知: )Y,X cov( )Y(D)X(D)YX(D2????), cov( 2)()()( 2 2YXab YDbXDabY aX D????性质性质 1 1性质性质 2 2性质性质 3 3注注: : 若X和Y相互独立,则 cov(X,Y )=0 性质性质 4 4 ,称为标准化随机变量. )( *XD XEXX ) ( ??显然: 1. E(X * )=0 , D(X * )=1 2. 记, ) ()( *XD XEXX ??, ) ()( *YD YEYY ??则* * cov( , ) cov( , ) ( ) ( ) X Y X Y D X D Y ?(定义为相关系数) 二二. .相关系数相关系数 P117 P117 设(X,Y) 是二维随机变量,当 D(X)>0, D(Y)>0 时, 称量为随机变量 X和Y的相关系数或标准协方差, 记作ρ XY,即)()( ), cov( YDXD YX)()( ), cov( YDXD YX ρ XY? P117 1 1 |ρ XY|≤1性质性质 2 2|ρ XY|=1 的充要条件为存在常数 a,b,使得 P{Y= a X+ b }=1 成立,即 X与Y以概率 1线性相关. 可以用来表征 X与Y之间线性关系紧密程度 XY?注:的量. , 若0? XYρ称X和Y不相关性质 3 若X和Y相互独立,则 X和Y不相关. 证明: 证明: 由X和Y相互独立得: cov(X,Y )=0 从而得, 0? XYρ即X和Y不相关. X和Y不相关,不一定 X和Y相互独立. 注: 注: 例例1 1(作业(作业 13 13) )设随机变量设随机变量 Z Z的分布律为: 的分布律为: 2 ??2 ? kp且设 X= sinZ , Y= cosZ , 试验证 X和Y是不相关的, 但X和Y不是相互独立的. X -1 0 1 kp解:Y0 1 kp XY 0 1 kp X, Y, XY X, Y, XY 的分布律分别为的分布律分别为则 E(X)=0, E(Y)=, E(XY)=0 所以 Cov(X,Y )=E(XY)-E(X)E(Y)=0 0)()( ),(???YDXD YX Cov XY??X和Y是不相关的