文档介绍：第一章矢量分析主要内容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度 2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理 7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系 yx以浓度表示的标量场?以箭头表示的矢量场 A 标量场(?)和矢量场(A) yx 1. 标量场的方向导数与梯度标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。Δ0 ( ) ( ) lim Δ lP P P l l ? ????? ???标量场?在P点沿 l方向上的方向导数定义为 Pl??? P llΔ P ??梯度是一个矢量。 grad x y z x y z ? ???? ??? ??? ?? e e e 在直角坐标系中,标量场?的梯度可表示为式中的 grad 是英文字 gradient 的缩写。某点梯度的大小等于该点的最大方向导数,某点梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。 zyx zyx??????????eee若引入算符?,在直角坐标系中该算符?可表示为???? grad 则梯度可以表示为 zx y r O P(x, y, z) r' r –r' P'( x ', y ', z ')例计算及。???????R 1????????R 1表示对 x, y, z运算表示对运算 zyx ???,, ??? 0R ?? ?? r r 这里 zyxzyxeeer??? zyxzyxeeer ???????解 zyxzzyyxxeeeR)()()( ????????? 222)()()(zzyyxxR ?????????zyx zyx??????????eeezyx zyx??????????????eee 31R R R??????????????????????????RR 11 31R R R?????????表示源点, P表示场点。 P ? zx y r O P(x, y, z) r' r –r' P'( x ', y ', z ')矢量 A沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲面 S 的通量,以标量?表示,即 2. 矢量场的通量与散度??? SdSA?通量可为正、负或零。当矢量穿出某个闭合面时,认为该闭合面中存在产生该矢量场的源;当矢量进入这个闭合面时,认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞(或汇)。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。当闭合面中有源时,矢量通过该闭合面的通量一定为正;反之,当闭合面中有洞时,矢量通过该闭合面的通量一定为负。前述的源称为正源,而洞称为负源。??? SdSA? S 已知真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量 q 与真空介电常数?? 0之比,即, 当闭合面中存在正电荷时,通量为正。当闭合面中存在负电荷时,通量为负。在电荷不存在的无源区中,穿过任一闭合面的通量为零。 0d Sq?? ?? E S 十一但是,通量仅能表示闭合面中源的总量,它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。当闭合面 S 向某点无限收缩时,矢量 A 通过该闭合面 S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该点的散度,以 div A 表示,即Δ0 d div lim Δ SVV ???? A S A式中, div 是英文字 divergence 的缩写; ?V为闭合面 S 包围的体积。