文档介绍：并矢与张量
许福永老师
基地班附加内容
两矢量相并称为并矢,其并矢式为

基并矢, 故
并矢的矩阵式为
1 并矢与张量(Dyad and Tensor)
1 并矢与张量
并矢的并矢式和矩阵式的差别在于有无基并矢。
根据物理量在空间转动时的坐标变换性质,可将其分为标量、矢量、张量等。若一个物理量在空间无取向,坐标系转动即坐标变换时,其值不变,称它为标量。若一物理量在空间有一定的方向,可用三个分量表示,坐标变换时,三个分量按同一方式变换,称它为矢量,可
用一行矩阵或列矩阵表示。若一个物理量有复杂的空间取向性质,可用9个分量表示,坐标变换时,九个分量按同一规律变换,称它为二阶张量,简称为张量。这由任一面上的应力张量而得名,其它具有这种性质的物理量也都称为张量。在三维坐标系中,n 阶张量有个分量。
在四维坐标系中,n 阶张量有个分量。
在 m 维坐标系中, n 阶张量有个分量。
. 并矢与张量
因此,标量为零阶张量,矢量是一阶张量。二阶以上的高阶张量很少用到。
注意,并矢和张量用粗黑斜体,在书写时,并矢写成,张量写成或。
并矢是张量的特殊形式,并矢可写成张量,但张量不一定恰好是并矢。
常用的张量有:
对称张量, 用表示有6个独立分量。
1 并矢与张量
1 并矢与张量
反对称张量, 用表示,只有3个独立分量。
单位张量
或
矢量的梯度
是并矢
张量或并矢的加减和数乘与矢量运算相同。点乘和叉乘都分为左右点乘与叉乘。相邻的矢量相点乘或叉乘。点乘后张量的总阶数降二阶。
左(前) 点乘:
右(后) 点乘:
2 张量的运算与分析
2 张量的运算与分析
左右点乘不相等。点乘用矩阵式运算方便。
叉乘后张量的总阶数降一阶。
左(前) 叉乘:
右(后) 叉乘:
叉乘用并矢式运算方便。双点乘降四阶, 即
矢量的梯度是并矢,张量的阶数升一阶
2 张量的运算与分析
与并矢点乘,并矢降一阶为矢量,即

与并矢叉乘,仍为并矢。式中第二项 A 与换位,点乘时第二项与第一项同号,叉乘时异号。
2 张量的运算与分析