文档介绍：第一章矢量分析总复习总复习第一章矢量分析麦克斯韦方程组: ??????????????????????????D B t BE t DJH0 法拉第电磁感应定律(2) 磁通连续性原理(3) 高斯定理(4) ?????????????????????????????????????????????? SV S lS lS dV SdD SdB Sdt BldE Sdt DJldH? 0 全电流定律(1) ?????????EJH B ED???, , 第一章矢量分析第一章矢量分析标量场的方向导数和梯度; 矢量场的通量和散度; 矢量场的环量和旋度; 亥母霍兹定理。第一章矢量分析一、标量场φ( x, y, z )的等值面方程为: .),,( const zyx??例 1-1 求数量场φ =( x+y ) 2-z 通过点 M (1, 0, 1) 的等值面方程。解:点 M 的坐标是 x 0 =1, y 0 =0, z 0 =1 , 则该点的数量场值为φ=(x 0+y 0) 2-z 0 =0 。其等值面方程为: 2 2)( 0)(yxz zyx?????或: 第一章矢量分析二、标量场的梯度?标量场φ(M)的梯度: 标量场φ(M)在M点处方向导数最大变化率的大小和方向称为标量场φ(M)在M处的梯度,它是一矢量用 G表示。也可用 grad φ(M)表示。?若梯度用哈密顿微分算子表示,则简化为: ?哈密顿微分算子的表达式为: z ey ex e zyx?????????? zy xez ey ex grad????????????????第一章矢量分析例 1-3 求数量场在点 M (1, 1, 2) 处的剃度及沿 l=e x+2e y+2e z方向的方向导数。解: z yxu 22??z yx zyxez yxez yez x ez uey uex uu 2 2222??????????????得到数量场 u在点 M (1, 1, 2) 处的剃度: zyxeeeu2 1)2,1,1(????第一章矢量分析 3 2221 2 cos 3 2221 2 cos 3 1221 1 cos 222 222 222???????????????l方向的方向余弦为: 数量场 u在l方向的方向导数为: 3 23 22 13 213 11 0???????????? M Mlul ?第一章矢量分析三、矢量场的散度和通量?散度为一标量,矢量场 A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量 A的标量积, 即 z Ay Ax A eAeAeAz ey ex eA divA z yx zzyyxxzyx?????????????????????????????????)(????????? VSSdAdV A?散度定理:矢量 A散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量,数学表示如下: 第一章矢量分析四、矢量场的旋度和环量?矢量场 A的旋度为哈密顿微分算子▽与矢量 A的矢量积 z x yy zxx yz zzyyxxzyxey Ax Aex Az Aez Ay A eAeAeAez ey ex A rotA??????????????????????????????????????????????????????????????????)(zyx xyxAAA zyx eeeA??????????第一章矢量分析?矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量,都是描绘矢量场性质的重要物理量,数学上称为积分量。?矢量的旋涡和散度,也是描绘矢量场性质的重要物理量,数学上称为微分量。??????????? c SldASdA)(?斯托克斯定理:矢量场在闭合曲线 c 上的环量等于闭合曲线 c所包围曲面S上旋度的总和, 数学表示如下: