文档介绍：相似二角形例题解析
编辑：启慧
为了帮助同学们复****天之骄学****研究部的老师参考多种学****资料精心选编了这
套相似三角形总结专题，供同学们查漏补缺。若有疑问，请速与我们联系。
相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。
一、如何证明三角形相似
例1如图：点G在平行四边形 ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点
E、F，则△ AGD EGC EAB
分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角/ G外，由 BC // AD可得/ 1 = / 2，所以
△ AGD EGC。再/ 1= / 2 （对顶角），由 AB // DG 可得/ 4= / G ,所以△ EGC
EAB。
评注：(1)证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”
(2)找到两个三角形中有两对角对应相等, 似三角形记下来。
便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相
例2、已知△ ABC中，AB=AC，/ A=36 ° , BD是角平分线,
求证：△ ABC BCD
分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然/ C是公
A
共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计
算也是一种常用的方法。
证明：•••/ A=36 ° ,△ ABC 是等腰三角形，•••/ ABC= / C=72 °
又 BD 平分/ ABC，则/ DBC=36 °
在厶ABC和厶BCD中，/ C为公共角，/ A= / DBC=36 °
• △ AB3A BCD
例3:已知，如图，DABC内一点连结 ED AD,以BC为边在△ ABC外作/ CBE=Z ABD,
/ BCE=Z BAD
分析：
由已知条件/ ABD=Z CBE / DBC公用。所以/ DBE=/ ABC要证的△ DBE和厶ABC
有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的
两边对应成比例。从已知条件中可看到厶 CB3A ABD这样既有相等的角，又有
成比例的线段，问题就可以得到解决。
证明：在厶CBE和△ ABD中,
/ CBE玄 ABD, / BCE=Z BAD
BC = BE
AB BD
即：BC = AB
BE BD
在△ DBE和△ ABC中
/ CBE=/ ABD, / DBC公用
•••/ CBE+Z DBC=Z ABD+Z DBC
BC AB
BE BD
AE、 AF、 AC，
例4、矩形ABCD中，BC=3AB , E、F,是BC边的三等分点，连结
问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找
相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:
(1)如图：称为“平行线型”的相似三角形
A
E
E
D
A
A
C
E
(2)如图：其中/
仁/ 2，则△ ADE s\ ABC称为“相交线型”的相似三角形。
E
⑶如图：/ 1 = / 2，/ B= /。，则厶ADE ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是
与厶ECA
“相交线型”的相似三角形，及厶EAF
解：设 AB=a，贝U BE=EF=FC=3a，
由勾股定理可求得 AE= ,2a ,
在厶EAF与厶ECA中，/ AEF为公共角，且圧竺 2
EF AE
所以△ EAF ECA (两边对应成比例且夹角相等的两个三
角形相似)
注：以上两例中都用了相似三角形的判定定理在，应注重加强训练。
2,该定理的灵活应用是教学上的难点所
、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例1 >△ ABC中，在 AC上截取 AD，在 CB延长线上截取 BE，使 AD=BE，求证:
DF?AC=BC ?FE
分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及 DF : FE=BC : AC,再利用相似三
角形或平行线的性质进行证明：
证明：过D点作DK // AB，交BC于K,
•/ DK // AB ,••• DF : FE=BK : BE
又••• AD=BE , • DF : FE=BK : AD，而 BK : AD=BC : AC
即 DF : FE= BC : AC , • DF