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文档介绍：学 海 无 涯
知识点串讲
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必修四
学 海 无 涯
第一章：三角函数
．1 任意角
1、角的有关概念：
①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：
2、象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第 几象限，我们就说这个角是第几象限角．
终边相同的角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合 S＝{ β | β = α + k·360 ° ， k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．
注意：
⑴ k∈Z ⑵ α 是 任 一 角 ；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍；
⑷ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．
3、写出终边在 y 轴上的角的集合(用 0°到 360°的角表示) ．
解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}．

4、已知α角是第三象限角，则 2α， 各是第几象限角？
2
解： 角属于第三象限， k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z) 因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z)
即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k∈Z)
故 2α是第一、二象限或终边在 y 轴的非负半轴上的角．

又 k·180°+90°＜ ＜k·180°+135°(k∈Z) ．
2

当 k 为偶数时，令 k=2n(n∈Z)，则 n·360°+90°＜ ＜n·360°+135°(n∈Z) ，
2
③角的分类：

负角：按顺时针方向旋转形成的角
始边
A
O
顶点
B
终边
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
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

当 k 为奇数时，令 k=2n+1 (n∈Z)，则 n·360°+270°＜ ＜n·360°+315°(n∈Z) ，
2
因此 属于第二或第四象限角．
2
弧度制
1、弧度制
我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在 弧度制下, 1 弧度记做 1rad．在实际运算中，常常将 rad 单位省略．
2、 弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为 r
r
r   ; 2r  2 .
②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．
l .
⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|= r 3、弧长公式
r
  l  l  r  
弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．
例6. 利用弧度制证明扇形面 积公式S  1 lR, 其中l是扇形弧长, R是圆的半径.
2
1 R2
证法一:∵圆的面积为R2 ,∴圆心角为 1rad 的扇形面积为 2 ,又扇形弧长为 l,半径为 R,
l
∴扇形的圆心角大小为 R rad, ∴扇形面积
S  l  1 R2  1 lR R 2 2
．
360
n R2
S 
，又此时弧长
nR
l 
180 ，
2 180 2
证法二:设圆心角的度数为 n，则在角度制下的扇形面积公式为
S  1  nR  R  1 l  R
∴ ．
可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．
2 2
扇形面积公式 : S  1 lR  1  R2
任意角的三角函数
1、三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点 P （除了原点）的坐标为(x, y) ，它与
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原点的距离为r(r  | x |2  | y |2  x2  y2  0) ，那么
（1）比值
y r
y r
叫做α的正弦，记作sin ，即sin 
；
x x
（2）比值