文档介绍：数学建模中的层次分析法层次分析法简介?层次分析法是萨蒂( saaty ) 等人 20世纪 70 年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径,它将各种因素层次化,并逐层比较多种关联因素,为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。?层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。层次分析法简介一、层次分析法基本原理分解建立确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相对重要性权向量综合决策二、层次分析法基本步骤一、确定权系数设 x 1,x 2,…x n为对应各因素的决策变量。其线性组合: y=w 1x 2 +w 2x 2 + …+w nx 是综合评判函数。 w1,w2, …w n是权重系数,其满足: w i?0 , 1 1??? ni iw对权重系数的量化过程(1)成对比较从 x 1,x 2,…x n中任取 x i与x j比较它们对于 y贡献(重要程度)的大小,按照以下标度给 x i/x j赋值: x i/x j=1,认为“x i与x j重要程度相同” x i/x j=3,认为“x i比x j重要程度略大” x i/x j=5,认为“x i比x j重要程度大” x i/x j=7,认为“x i比x j重要程度大很多” x i/x j=9,认为“x i比x j重要程度绝对大” 当比值为 2,4,6,8 时认为介于前后中间状态。(2)建立逆对称矩阵由x i/x j建立 n阶方阵 A (3) 迭代按下列方法求向量迭代序列: e 0 =( 1/n 1/n … 1/n) T e ’k= Ae k -1 || e ’k ||为 Ae k -1的n个分量之和 e k = e ’ k / || e ’k || , k=1,2, …数列{ e k}是收敛的,记其极限为 e=(a 1 a 2 … a n)于是取权重系数 w i=a i例1:评价影视作品?在电视节上评价影视作品,用以下三个评价指标: ?x 1表示教育性?x 2表示艺术性?x 3表示娱乐性?有一名专家经成对,赋值: ?x 1 /x 2 =1 x 1 /x 3 =1 /5 x 2 /x 3 =1/3 ?于是得到逆对称矩阵?????????????????135 3 111 5 111A?????????????????3 1 3 1 3 1 0e?????????????3 788 .0 733 .0 01 Ae e 511 .4 1??e ??????????????????????665 .0 172 .0 162 .03 788 .0 733 .0 511 .4 1 1e?????????????????????????661 .0 184 .0 155 .0,014 .3,991 .1 565 .0 467 .0 2 2 2eee?????????????????????????659 .0 185 .0 156 .0,018 .3,998 .1 559 .0 471 .0 3 3 3eee?????????????????????????659 .0 185 .0 156 .0,028 .3,994 .1 561 .0 473 .0 4 4 4eee ?由于 e 4 =e 3 ,迭代经过 4次中止,权系数是 w 1 =, w 2 =, w 3 = ?相应的综合评价公式是? Y= 1 + 2 + 3?如果用同样的分制来给作品的三个指标评分,由以上公式算出的便是作品综合评分 y。