文档介绍：三角形中的最值（或围）问题
解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。
类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决
例1．在△ABC中， 分别是角的对边，且2asinA =（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.
(1) 求角A的大小；（2）求的最大值.
变式1：已知向量，，且，其中是△ABC的角，分别是角的对边.
(1) 求角的大小；（2）求的最大值.
解：由，得a+b—c=ab=2abcosC
所以cosC=，从而C=60
故=sin(60+A)
所以当A=30时，的最大值是
变式2．已知半径为R的圆O的接⊿ABC中，若有2R（sinA—sinC）=（a—b）sinB成立，试求⊿ABC的面积S的最大值。
解：根据题意得：
2R(—)=(a—b)*
化简可得 c=a+b—ab, 由余弦定理可得：
C=45, A+B=135
S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC
=sinAsin(135—A)
=(sin(2A+45)+1
∵0<A<135 ∴45<2A+45<315
∴ 当2A+45＝90即A=15时，S取得最大值。
类型二：利用重要不等式来解决
例2（13年中学）在中，角A,B,C的对边分别为且.
（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值。
解 （1）由余弦定理，
∴
∴，
又∵<，
解方程组
得或 (舍)．
∴
（2）由余弦定理，
∴
∵
∴，又
∴
即时三角形最大面积为
变式3．在⊿ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c, ⊿ABC的外接圆半径R=,且＝
（1）求B和b的值； （2）求⊿ABC面积的最大值
解：由已知＝，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
即sin(B+C)= 2sinAcosB
∵A+B+C=π ∴sinA =2sinAcosB
∵sinA≠0 ∴cosB= ∴B=60
∵R=, ∴b=2RsinB=2sin60=3,
故角B=60,边b=3
由余弦定理得b=a+c-2accosB
即9＝a+c-2accos 60
∴9＋ac= a+c≥2ac(当且仅当a=b时取等号)
即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)
∴三角形得面积s=acsinB≤*9*sin60=
∴三角形得面积的最大值是
变式4：⊿ABC中，若AB=1,BC=2,则角C的取值围是
答案：=2,c=1, ∴a=2c
∴2sinA=4sinC ∴sinC = sinA≤
∵0<C<A ∴0<C≤30
===(b+)≥,故0<C≤30
练****br/>1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，＜C＜且＝。
（1）判断△ABC的性状； (2)若|＋|＝2，求·的取值围．
解：(1)由＝及正弦定理得sinB＝sin2C，∴B＝2C，且B＋2C＝π，
若B＝2C，＜C＜，∴π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；∴B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．
(2)∵|＋|＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4，∴cosB＝(∵a＝c)，而cosB＝－cos2C，＜C＜，∴＜cosB＜1，∴1＜a2＜，又·＝accosB＝2－a2，∴·∈(，1)．
2、在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，
∴＝， ∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形． 答案：B
3、在ABC中，sin(C-A)=1, sinB=。
（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积。
解：（I）由知。
又所以即
故
(II)由（I）得：
又由正弦定