文档介绍：泰勒公式
泰勒公式
一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式
由微分概念知： f 在点 x 0 可导，则有 f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) ( x x 0 ). ．
即在点 x 0 附近，用一次多项式 f ( x 0 ) f ( x0 )( x x 0 ) 逼近函数 f ( x ) 时，其误差为 ( x x 0 )
的高阶无穷小量． 然而在很多场合，
取一次多项式逼近是不够的， 往往需要用二次或高于二
次的多项式去逼近，并要求误差为
(( x
x 0 )) n ，其中 n 为多项式的次数．为此，我们考察
任一 n 次多项式
p n ( x)
a 0
a1 ( x
x 0 )
a 2 ( x
x 0 ) 2
a n ( x
x0 ) n . (1)
逐次求它在点
x 0
处的各阶导数，得到
p n ( x0 )
a 0 ， p n
( x0 )
2! a 2 ，
, p n
( n )
( x0 ) n! a n
，
即
( n )
a 0 p n ( x 0 ), a1
p n ( x0 ) , a 2
p n ( x0 ) ,
a n
p n
( x0 ) .
1!
2!
n!
由此可见，多项式
p n ( x ) 的各项系数由其在点
x 0
的各阶导数值所唯一确定．
对于一般函数
f ，设它在点 x 0
存在直到 n 阶的导数．由这些导数构造一个
n 次多项式
1
泰勒公式
Tn ( x)
f ( x 0 )
f ( x 0 ) ( x
x 0 )
f ( x 0 ) ( x
x0 ) 2
1!
2!
（2）
f
( n )
( x0 )
x0 )
n
n!
( x
,
( k )