文档介绍：AHP中两类标度转换的保序性条件
谭阳覃菊莹吕跃进
(广西大学数学与信息科学系,530004)
摘要本文通过分析两类标度之间的转换关系,给出了两类标度转换的保序性条件。
关键词 AHP 标度转换保序性排序方法
1 引言
随着层次分析法的广泛使用及应用的需要,出现了越来越多的标度[4]~[11]。文[1]把它们作了分类,并提出了转换的方法。但是,并没有考虑到标度转换后的排序是否一致。本文提出了将Ⅰ类标度转换为Ⅱ类标度的保序条件。
2 两类标度的转换及其排序方法
我们根据标度所得的判断矩阵的性质差异,可将其分为两大类,即:Ⅰ、“互反性”标度;Ⅱ、“互补性”标度。其中,属于Ⅰ类的有:1—9标度,指数标度,9/9—9/1标度和10/10—18/2标度,用此类标度所得矩阵为正互反判断矩阵;属于Ⅱ类的有:—,0—1标度,0—2标度,-2—2标度,用此类标度所得矩阵为互补判断矩阵。
将Ⅰ类标度的判断矩阵转换为Ⅱ类标度的判断矩阵,其转换公式[1]为:。文[1]中认为,通过上式先将Ⅰ类标度的判断矩阵转换为Ⅱ类标度的判断矩阵,然后将Ⅱ类标度的判断矩阵转换为模糊一致性矩阵[1],再把模糊一致性矩阵的行和归一化得排序权重,并认为不需进行一致性检验(这是错误的)。但并没有提及经过转换所得的排序是否与原先的排序相同。实际上,并非对于所有Ⅰ类标度的判断矩阵经转换后所得的排序还与原先的排序相同。如:Ⅰ类标度的判断矩阵,用特征根法得到的排序向量为:,此时,而转换为Ⅱ类标度后所得的排序为:
,此时。因此,标度经过转换后是否还保序非常值得研究。
3 保序性条件
定义1 设矩阵,若有,则称矩阵是模糊矩阵。
定义2 设模糊矩阵,若有,则称矩阵是模糊互补矩阵。
定义3 设有模糊互补矩阵,若对任意,有,则称矩阵是模糊一致性矩阵。
定理1[2] 如果对模糊互补矩阵按行求和,记为并施之如下数学变换则由此建立的矩阵是模糊一致的。
定理2 将Ⅰ类标度的判断矩阵经上述转换后得Ⅱ类标度的判断矩阵,所得的归一化之前的排序向量为,其中
(1)
证明: 由,则,得模糊一致性矩阵,
其中
=+
将按行求和后得:

=
证毕。
定义4[3] 正互反矩阵称为是序传递的,如果,则对所有的,有;如果,则或者对所有的,有,或者对所有的有。
定理3 若Ⅰ类标度的判断矩阵是序传递的,则经转换后得到的排序与原先用EM,LLSM,LSM给出的排序相一致。
证明:对任意,,因为是序传递的,都有或,。那么由EM,LLSM,LSM在强条件下的保序性[3]知,它们各自的排序权值均满足或。另一方面,设经过转换后的排序向量为(),由(1)式可得
=
因此当对任意k,时0,;
当对任意k,时,有0,。证毕。
从上述的定理我们可以看到,当Ⅰ类标度的判断矩阵满足序传递时,转换后的排序与原先用EM、LLSM、和LSM给出的排序相一致。
4 结语
不可否认,Ⅱ类标度在一些实际的计算中比Ⅰ类标度所得到的排序与现实更为接近。如:Ⅰ类标度的判断矩阵,用EM和LLSM给出的排序为,而经过转换为Ⅱ类标度后计算得到的排序为
,显然这与实际的排序更为接近。但是,如果Ⅰ类标度的判断矩阵经转换后所得的排序与原先的不一致时,将会对我们的结果产生影响,防碍我们对客观排序的正确认识。因此