文档介绍：数列通项公式的常用求法
数列的通项公式是数列的核心,求通项公式也是数列学习中常见而又重要的题型,由于数列给出的形式不同,求数列的通项公式的方法也不同,技巧性强,现就该内容作一个归纳,以提高对求数列通项公式认识。
一、与关系求通项公式
对已知数列前项和与的关系,可用求通项公式。说明:对于通项的结果,若与()不能统一,则写成分段函数形式,若与()能统一,则合并成一个通项公式。
=(),求数列的通项公式。
解:当时, (),解得
当时,
整理得:()()=
是以为首项,为公差的等差数列
经验证也满足.
,且,
(1)证明:是等比数列;
(2)求数列的通项公式.
解:(1)由(1)
可得:,即.
同时(2)
从而由可得:
即:,故是以为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1),从而.
二、递推公式求通项公式
<1>累加法
对递推公式形如,的数列(即满足一定规律时,可以有,可用累加法求通项公式。说明:当为常数时,数列即为等差数列。
,,(),求数列的通项公式。
解:由得
将以上各式相加得:
.
.
求数列的通项公式;
解:由已知,当n≥1时,
.
而所以数列{}的通项公式为.
<2>累乘法
对递推公式形如,的数列(即满足一定规律时,可以有
),可用累乘法求通项公式。说明当为常数时,数列即为等比数列。
,,,求数列的通项公式。
解:由得
, , 将以上各式相乘,得
即
<3> 化归转化法
(I)对递推公式形如, , 其中为非零常数的数列(即在式子两加, 可得是公比为的等比数列),可用化归转化法求通项公式。说明:本题型亦可由,,两式相减得为等比数列求解。
,, ,求数列的通项公式。
解: 由得
故是以为首项,3为公比的等比数列。
(II)对递推公式形如, ,其中的数列(即在式子两