文档介绍：第二章
①.定义
第3节向量组与矩阵的秩{②.怎样求
①.定义求秩
③.两者之间的关系
②.初等行变换求秩
③.应用①判断向量组是否线性相关
本节所学与
即矩阵的②求向量组的秩
解线性方程组
初等行变换③求极大的线性无关组
有何关联?
的应用)
概念:极大线性无关组定义及其求法、
2向量组的秩向量组的秩、等价向量组
判断向量组是否线性相关的方法
矩阵的子式(P46)
在m×n矩阵A中,任取k行k列(k≤m,k≤n),
位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们
在A中所处的位置次序而得的k阶行列式,称为
矩阵A的k阶子式。
是A的一个三阶子式,
A=(a1)3×0a4
它由A的第2,4,6行
与第1,5,7列交叉处
的元素所构成。
例1求矩阵A的秩A=23-5
解
在A中,容易看出一个2阶子式
0
A的三阶子式只有一个A经计算可知A4=0
因此R(A)=2
矩阵的初等变换不改变行列式是否为零的性质,所以有:P53
,即可用初等变换求矩阵的秩
行阶梯型矩阵( Row Echelon Matrix)(P53定义27)
(1)a1,a2…,amn以下的元全为零;
般用初等行变换,
这与解线性方程组结合
(2)每一行的第一个非零元前面的零元素个数大于前一行这种
零元素的个数;
(3)如果某一行的元素全为零,则以下所有行的元素全为零
03-290
040
138
00481
00024
000-2
00000
P53例题26上面一行矩阵A的秩等于A经过
初等行变换所得行阶梯型矩阵的非零行的行数
行最简型矩阵( Row Reduced Echelon Matrix)
非零行的第一个非零元素为1,且这些非零元1
所在列的其他元素都为零的行阶梯型矩阵
1000
01000
0100
0001
00014
0000
00000
倒例题:初等行变换求矩阵的秩下一问题:向量组的秩
+(-2)
26
0-3
A
+3r
02-321
8315
0-23-2-1
086
00098
120-1
3+102-321
>z4
02-321
B
00000
000
00000
R(A)=R(B)=3
●课堂练****br/>利用矩阵的初等变换求下列矩阵的秩
123
1200
()A=221(2)B
343
3612
答案:R(A)=3R(B)=3
1200
1200
200
30024/00137
r+r
0012
(2)B→
-z2|0001
0012
0000
0000
问题:矩阵B中是否所有的三阶子式都不为零?
定义28(P54)极大(最大)线性无关组
Maximal Linearly Independent Systems
设有向量组T,如果在T中能选出r个向量
,C,满足
(1)向量组C1,C2,…,O1线性无关,
(2)向量组T中任意r+1个(如果有的话)
都线性相关,则称
1,c2
,
个最大线性无关组,简称最大无关组
向量组中任一向量都可由极大无关组线性表示。