5-3合同 一次同余式 ou.ppt

文档介绍：§ 合同 一次同余式
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引入
看任意整数a除以3所得的余数：
0 ＝ 0×3 + 0;
1 ＝ 0×3 + 1;
-1 ＝ (-1)×3 + 2;
2 ＝ 0×3 + 2;
-2 ＝ (-1)×3 + 1;
… … 可以看到余数有三种情况：0, 1, 2;
对于-1和2, 它们除以3余数相同，两式相减则有：2-(-1) = (0-(-1))×3 + (2-2)，则，3|(2-(-1))
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引入
引入一种新的记法来对3|(2-(-1)) 进行表达：
2 -1(mod 3)
则，还有下面的式子：
3  0(mod 3) 0  3(mod 3)
4  1(mod 3) 1  4(mod 3)
5  2(mod 3) 2  5(mod 3)
… …
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§ 合同及其性质
定义. 设a,b为二整数，m是任意非0整数。
若 m|a-b，则称a合同于b 模m。 记为：ab(mod m)
Note:
合同为整除的另一种表示法，故整除的性质在此可用。
特别地，若b=0，则a0(mod m)表示的就是m|a。
(2) 若m|a，则- m|a。所以，若未指定m而一般地讨论模m合同时，总假定m是正整数。
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§ 合同及其性质
(3)设a=q1m+r1，0≤r1<m；
b=q2m+r2，0≤r2<m。于是 a-b=(q1-q2)m+(r1-r2)
则 m|(a-b) iff m|(r1-r2)，但|r1-r2|<m，故
m|(r1-r2) iff r1-r2=0。
故 a≡b(mod m) iff 以m除a和b所得的余数相同。
有些书中将合同又叫做同余。
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合同的基本性质
合同是整除的又一表达方式，但这种表达有许多好处：（1）直观；（2）合同的很多性质与相等类似。
性质1 a≡a。
性质2 若a≡b,则b≡a。
性质3 若a≡b，b≡c，则a≡c。
故合同是一种等价关系。
每一个等价类称为模m的一个剩余类。
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合同的基本性质
性质4 若a≡b(mod m),c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)，ac≡bd(mod m)
证明：由题设有r，s使a-b=rm，c-d=sm。故(ac)-(bd)=(rs)m, 因而
acbd(mod m)。ac=(b+rm)(d+sm)=bd+rdm+bsm+rsm2bd+0+0+0(mod m)=bd(mod m)，故acbd(mod m)。
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合同的基本性质
性质5 若ab(mod m)，
　则akbk (mod m)。其中k为整数。
证明：由ab(mod m)，k  k(mod m)和性质4
　　　有，a+kb+k (mod m)。同理得
　　　a-kb-k (mod m)。
性质6 若a+bc(mod m)，
则ac-b(mod m)。
证明：由a+bc(mod m)和-b-b(mod m) 得
　　　　a+b-bc-b(mod m)，即
　　　　ac-b(mod m)。
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合同的基本性质
性质7 若ab(mod m)，则acbc(mod m)。
证明