文档介绍：《复数》知识点总结
1、 复数的概念
形如a bi(a, b R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足 = _1 , a叫做复数的实
部，b叫做复数的虚部.
(1)纯虚数：对于复数 z = a • bi，当a= 0且b = 0时，叫做纯虚数.
⑵两个复数相等：a bi, c di(a> b、c、d R)相等的充要条件是 a = c且b=d.
复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚 轴.
复数的模：复数 z=a • bi可以用复平面内的点 Z(a,b)表示，向量 OZ的模叫做复数
z = a bi 的模，表示为：| z |=|a bi 1=、.. a2 b2
(5)共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数 .
2、 复数的四则运算
加减运算：(a bi)二(c di) = (a 二c) (b d)i ；
乘法运算：(a bi) (c di)二(ac - bd) (ad bc)i ；
除法运算:(a biV> (c di)二(笃二号)(b： 一 a? i(c di = 0)；
c d c d
i 的幕运算：i4n=1，i4n1=i，，T3「i.( n・ Z)
ZZ=|Z|2=|Z『
3、 规律方法总结
对于复数z = a，bi(a,b・R)必须强调a,b均为实数，方可得岀实部为 a，虚部为b
复数z = a，bi(a,b・R)是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件
是把复数问题转化为实数问题的主要方法•对于一个复数 z = a • bi(a,b • R)，既要从整体的
角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识
对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却 有相等与不等之分.
数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系
就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等
1、基本概念计算类
例1•若乙=a+2i,z2 =3—4i,且 N为纯虚数，则实数 a的值为
Z2
解：因为,
z1 a 2i (a 2i)(3 4i) 3a 6i 4ia - 8
= — —
3a - 8 (6 4a)i
z2 3-4i (3-4i)(3 4i)
25
25
又为纯虚数，所以， 3a— 8 = 0,且6+ 4a = 0。
Z2
2、复数方程问题
例2•证明：在复数范围内，方程 |z|2 ・（1_i）z
5 _
（i为虚数单位）无解
2 i
证明：原方程化简为| z|- i）z -（1 • i）z =1 - 3i,设z = x+ yi（x、y R），代入上述方程得
r 2丄 2 彳
+ y2 -2xi -2yi =1-3i.」
x + y =1 2
y 整理得 8x —12x+5=0
gx +2y =3
A. = -16 ：：： 0..方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。
3、
综合类
1
3 •设z是虚数，• = Z亠一是实数，且—1＜，，＜2
z
1
=a bi a-bi=(a
a b .
a2 b2)(b「a2 b2