文档介绍：§ § 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量??矩阵的特征值矩阵的特征值??特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质第四章第四章矩阵的特征值矩阵的特征值说明 1. 0, . ??特征向量特征值问题是对方阵而言的?? 2. , 0 , | 0 . n A I A x I A A ? ???? ? ??阶方阵的特征值就是使齐次线性方程组有非零解的值即满足方程| 的都是矩阵的特征值 , , , . 1 A n n AA A ? ?? ??????设是阶矩阵如果数和维非零列向量使关系式成立则称这样的数称为非零向量称方阵的特征值的对应于特征值的定为特征向量义一、矩阵的特征值 3. 0 I A ?? ?? 11 12 1 21 22 2 1 2 0 nn n n nn a a a a a a a a a ???? ? ?? ? ??? ? ???? ???? 2 - - - 0 . A n I A A I A n A I A A ?? ???为阶矩阵,称为的,其行列式| | 为的次多项特征矩阵特征式,称为的, | | 称为多项式特的定征方程义- 0 - 0 i iA I I n n A A A A ? ?? ??? ??? 1. 由定义得,是的特征值,等价于是其特征方程| | 的根,| | 的重根,则称为征根重特征的值(根). 说明说明 2 - ) I A x ??? . 方程( 0 的任意非零解向量,都是对应于的特征向量. . A A I A I A I ?????? ?的也可以表示为; 也可以表示为| | ; 也可以表示为特征矩阵特征多项| 特征| 式方程 4. 0 0 . A A I A A I x ? ??? ??? ?求的特征值就是求| |= 的根, 求的相应于的特征向量就是求| | 的非零解向量求矩阵 A的特征值及特征向量问题就转化为求解多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题. 13 的特征值和特征向量求?????????A 的特征多项式为 A??????31 131)3( 2????)2 )(4(68 2??????????.4,2 21????的特征值为所以 A,0 0231 123 ,2 2 1 1????????????????????????x x 对应的特征向量应满足时当?????????.0 ,0 21 21xx xx即, 21xx ? 1 1???????p 取为所以对应的特征向量可,0 011 11,0 0431 143 ,4 2 1 2 1 2???????????????????????????????????????????????x xx x即由时当? 1 2 2 1 , . 1 x x p ?? ??? ?? ?? ?解得所以对应的特征向量可取为 1 1 2 ( 0) kp k ?? ?故相应于的全体特征向量为