文档介绍：平面向量基础定理
[学****目标] ，，当一组基底选定后，．
知识点一 平面向量基础定理
(1)定理：假如e1，e2是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内全部向量一组基底．
思索 图所表示，e1，e2是两个不共线向量，试用e1，e2表示向量，，，，，a.
答案 经过观察，可得：
＝2e1＋3e2，＝－e1＋4e2，＝4e1－4e2，
＝－2e1＋5e2，＝2e1－5e2，a＝－2e1.
知识点二 两向量夹角和垂直
(1)夹角：已知两个非零向量a和b，图，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a和b夹角．
①范围：向量a和b夹角范围是[0°，180°]．
②当θ＝0°时，a和b同向．
③当θ＝180°时，a和b反向．
(2)垂直：假如a和b夹角是90°，则称a和b垂直，记作a⊥b.
思索 在等边三角形ABC中，试写出下面向量夹角．
①、；②、；③、；④、.
答案 ①和夹角为60°；
②和夹角为120°；
③和夹角为60°；
④和夹角为180°.
题型一 对向量基底认识
例1 假如e1，e2是平面α内两个不共线向量，那么下列说法中不正确是________．
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)能够表示平面α内全部向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2实数对(λ，μ)有没有穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2和λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
答案 ②③
解析 由平面向量基础定理可知，①④是正确．
对于②，由平面向量基础定理可知，一旦一个平面基底确定，那么任意一个向量在此基底下实数对是惟一．
对于③，当两向量系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这么λ有没有数个．
跟踪训练1 设e1、e2是不共线两个向量，给出下列四组向量：①e1和e1＋e2；②e1－2e2和e2－2e1；③e1－2e2和4e2－2e1；④e1＋e2和e1－．(写出全部满足条件序号)
答案 ①②④
解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2
＝－2(e1－2e2)，
∴e1－2e2和4e2－2e1共线，不能作为基底．
题型二 用基底表示向量
例2 图所表示，已知▱ABCD中，E、F分别是BC、DC边上中点，若＝a，＝b，试以a、b为基底表示、.
解 ∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
跟踪训练2 图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为BC三等分点，若＝a，＝b，用a、b表示、、.
解 ＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b.
题型三 向量夹角问题
例3 已知|a|＝|b|＝2，且a和b夹角为60°，设a＋b和a夹角为α，a－b和a夹角是β，求α＋β.
解 图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，
以OA、OB为邻边作▱OACB，
则＝a＋b，＝－＝a－b，
＝＝a.
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，
所以∠OAB＝60°＝∠ABC，
即a－b和a夹角β＝60°.
因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，
所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，
即a＋b和a夹角α＝30°，
所以α＋β＝90°.
跟踪训练3 若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a和a＋b夹角．
解 由向量运算几何意义知a＋b，a－b是以a、b为邻边平行四边形两条对角线．
图，∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴∠BOA＝60°.
又∵＝a＋b，且在菱形OACB中，
对角线OC平分∠BOA，
∴a和a＋b夹角是30°.
题型四 平面向量基础定理应用
例4 图所表示，在△OAB中，＝a，＝b，点M是AB上靠近B一个三等分点，点N是OA上靠近A一个四等分点．若OM和BN相交于点P，求.
解 ＝＋＝＋＝＋(－)＝a＋b，
因为和共线，故可设＝t＝a＋b.
又和共线，可设＝