文档介绍：考研高等数学（中等题+理论）讲义
主讲：汪诚义
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第六章 多元函数微分学
§ 多元函数的概念、极限与连续性
§ 偏导数与全微分
（乙）典型例题
例3．设，是由和所确定的函数，其中具有一阶连续导数，具有一阶连续偏导数，求
解：分别在两方程两边对求导得
化简
解出
例6．已知，确定其中，
均有连续偏导数，求证
证：
，，
根据隐函数求导公式
则得
第七章 多元函数积分学
§ 二重积分
（甲）内容要点
一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题
口诀（40）：多重积分的计算，累次积分最关键。
模型I：设有界闭区域
其中，在上连续，在上连续，则
模型II：设有界闭区域
其中，在上连续，在上连续
则
关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域如果既不符合模型I中关于的要求，又不符合模型II中关于的要求，那么就需要把分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。
在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域，然后根据再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。
口诀（41）：交换积分的顺序，先要化为重积分。
二、在极坐标系中化二重积分为累次积分
在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域的不同类型，也有几种常用的模型。
模型I 设有界闭区域
其中，在上连续，在上连续。
则
模型II 设有界闭区域
其中在上连续，
在上连续。
则
（乙）典型例题
一、二重积分的计算
例1．计算，其中由，和轴所围区域
解：如果
那么先对求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。
这时先对积分，当作常数处理就可以了。
原式
【（乙）典型例题（1）（中）】 例2．计算
解：原式
=
=
二、交换积分的顺序
【（乙）典型例题（3）（前）】 例1．交换的积分顺序
解：原式=
其中D由和以及所围的区域
由
因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得
原式=
【（乙）典型例题（4）（后）】例3．计算
解：
第八章 无穷级数（数学一和数学三）
§ 常数项级数
（甲）内容要点
一、基本概念与性质
1．基本概念
无穷多个数依次相加所得到的表达式
称为数项级数（简称级数）。
称为级数的前项的部分和，称为部分和数列。
若（存在），则称级数是收敛的，且其和为，记作
若不存在，则称级数是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。）
口诀（46）：无穷级数不神秘，部分和后求极限。
2．基本性质
（1）如果
和皆收敛，为常数，则收敛，且等于
（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。
（4）级数收敛的必要条件是
（注：引言中提到的级数，具有不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，发散。调和级数满足，但却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件，而收敛性尚不能确定。）
3．两类重要的级数
（1）等比级数（几何级数）