文档介绍：题型一求数值型矩阵的逆矩阵
基本方法有：
：设A的逆矩阵为X，由AX=E（或XA=E），求出X即可。
：
：
：若A能分成以下类型之一时
当A11，A22可逆时，可用分块求逆公式进行计算
，A2分别为m,n阶矩阵，试求
的逆矩阵。
解：
得
则
即
，B，A+B都是可逆矩阵，试求：（A-1+B-1）-1。
解：
（1） A-1+B-1=B-1（BA-1+E）=B-1（BA-1+AA-1）
= B-1（A+B）A-1
（2）（ A-1+B-1）-1 = B（A+B）-1A
题型二 A为抽象矩阵，讨论A的可逆性

（1）把已知矩阵等式写为AB=C的形式， │AB│=│A││B│=│C│≠0知│A│≠0，从而可逆；
（2）证明AX=0只有零解，则│A│≠0，从而可逆；
（3）证明的特征值全不为零即可。

（1）反证法，假设A可逆，再在等式两边乘以A-1，导出矛盾；
（2）直接计算│A│=0；
（3）证明A有零的特征值；
（4）证明AX=0只有非零解，则A不可逆。
+A2-A-E=0，证明A可逆，并求A-1。
解：
由A3+A2-A-E=0可得A（A2-A-E）=E
从而│ A（A2-A-E）│= │ （A2-A-E） │ │A│ =1
于是│A│≠0，故A可逆，且A-1= A2-A-E
，B为n阶矩阵，且E-AB可逆，证明E-BA可逆。
解：
用反证法
设E-AB不可逆，则存在X≠0，使（E-AB）X=0
即 X= BAX
于是 AX= ABAX ，令Y =AX，则Y≠0，
否则若 Y=0，则有 X=BAX=BY=0，
这与X≠0矛盾，从而有
Y=ABY, Y ≠0
即（E-AB）Y=0, Y ≠0
这与E-AB可逆矛盾，故E-AB不可逆
题型三考查矩阵运算的特殊性
矩阵运算不满足交换律AB≠BA，涉及到两个矩阵是否可交换，一般联想到逆矩阵的定义；但矩阵运算满足结合律：A(BC)=(AB)C，巧妙地运用结合律往往可以简化计算。
，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C为？
解：由B=E+AB，C=A+CA，知
（E-A）B=E，C（E-A）=A，
可见，E-A与B互为逆矩阵，于是B（E-A）=E,
从而有（B-C）（E-A）=E-A，
而 E-A可逆，故B-C=E。
例2.
解：
题型四解矩阵方程
（1）含有未知矩阵的等式称为矩阵方程，解矩阵方程的问题，本质上是考查矩阵的运算，特别是乘法和逆运算，因为在解矩阵方程的过程中，应尽量利用矩阵和运算性质先化简，再计算。
（2）矩阵方程的基本形式有：AX=B，XA=B，AXB=C，若A为可逆矩阵时，其解分别为X=A-1B，X=BA-1以及
X=A-1CB-1（这里要求B可逆）。
（3）当A不可逆时，矩阵方程一般应转化为解线性方程组。